Diskriminant orqali yechish: matematika darsi

$x^2-3x-10=0$ tenglamada qaysi son ildiz ekanini taxmin qilish mumkin, lekin $5x^2-13x-6=0$ da taxmin ish bermaydi. Diskriminant formulasi har qanday kvadrat tenglamani bir xil yo'l bilan yechadi va ildizlar nechta ekanini oldindan aytadi. Bu darsdagi formula keyingi hamma mavzuda kerak bo'ladi.

Kvadrat tenglama

$ax^2+bx+c=0$ ko'rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda $a\ne 0$ . $a$ bosh koeffitsiyent, $b$ ikkinchi koeffitsiyent, $c$ ozod had. $a=1$ bo'lsa, tenglama keltirilgan deyiladi.

Koeffitsiyentlarni o'qishdan oldin hamma hadni bir tomonga o'tkazamiz, o'ng tomonda $0$ qoladi. Koeffitsiyent o'z ishorasi bilan olinadi.

Tenglama	Standart ko'rinish	$a$ , $b$ , $c$
Tenglama $x^2-5x+6=0$	Standart ko'rinish $x^2-5x+6=0$	$a$ , $b$ , $c$ $1,\ -5,\ 6$
Tenglama $2x^2-3=5x$	Standart ko'rinish $2x^2-5x-3=0$	$a$ , $b$ , $c$ $2,\ -5,\ -3$
Tenglama $4-x^2=0$	Standart ko'rinish $-x^2+4=0$	$a$ , $b$ , $c$ $-1,\ 0,\ 4$
Tenglama $x^2+x=20$	Standart ko'rinish $x^2+x-20=0$	$a$ , $b$ , $c$ $1,\ 1,\ -20$

Qavslar bo'lsa, avval ochamiz:

(3x-2)(x+1)=(x+2)^2-1

Ochilsa,

2x^2-3x-5=0

Barcha koeffitsiyentlar umumiy ko'paytuvchiga ega bo'lsa, unga bo'lamiz: $2x^2-20x+32=0$ o'rniga $x^2-10x+16=0$ ni yechamiz, ildizlar o'zgarmaydi.

Diskriminant formulasi qayerdan keladi

Tenglamani $a$ ga bo'lib, to'liq kvadrat ajratamiz:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

\Rightarrow\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

Chap tomon kvadrat, u manfiy bo'lmaydi. Shuning uchun hammasini surat $b^2-4ac$ hal qiladi. Unga diskriminant deyiladi:

D=b^2-4ac

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

Ildizlar formulasi, bunda

D\ge 0

Holat	Ildizlar	Misol
Holat $D>0$	IldizlarIkkita har xil ildiz	Misol $x^2-3x-10=0$ : $D=49$ , $x=\dfrac{3\pm 7}{2}$ , ya'ni $5$ va $-2$
Holat $D=0$	IldizlarBitta ildiz $x=-\dfrac{b}{2a}$	Misol $9x^2-12x+4=0$ : $D=0$ , $x=\dfrac{2}{3}$
Holat $D<0$	IldizlarHaqiqiy ildiz yo'q	Misol $x^2+2x+5=0$ : $D=-16$

$D=0$ bo'lganda chap tomon to'liq kvadrat bo'ladi: $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$ . Testlarda buni «ildizlari teng» yoki «bitta ildizga ega» deb aytishadi, shart bir xil: $D=0$ .

−b ni hisoblashda ishorani yo'qotmang: b = −5 bo'lsa, −b = 5. Maxraj 2a ga teng, faqat 2 emas. c manfiy bo'lsa, −4ac musbat chiqadi.

Ikkinchi koeffitsiyent juft bo'lsa

$b=2k$ bo'lsa, hisob yengillashadi. $D=4k^2-4ac=4(k^2-ac)$ , shuning uchun $\dfrac{D}{4}$ ni hisoblaymiz:

\frac{D}{4}=k^2-ac

x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{D/4}}{a}

Misol: $3x^2-14x+8=0$ da $k=-7$ :

\frac{D}{4}=49-24=25

x=\frac{7\pm 5}{3}

Ildizlar

4

\dfrac{2}{3}

Ildizlar soni uchun $\dfrac{D}{4}$ ning ishorasi $D$ ning ishorasi bilan bir xil.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish