Viyet teoremasi va simmetrik ifodalar: matematika darsi

$x^2-5x+2=0$ tenglamaning ildizlari noqulay sonlar: $\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}$ . Lekin ularning kublari yig'indisi $95$ ekanini ildizlarni topmasdan bir qatorda hisoblash mumkin. Buni Viyet teoremasi beradi: ildizlar yig'indisi va ko'paytmasi to'g'ridan-to'g'ri koeffitsiyentlardan o'qiladi.

Viyet teoremasi

$ax^2+bx+c=0$ tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, ya'ni $a\ne 0$ va $D\ge 0$ bo'lsa, ularning yig'indisi $-\dfrac{b}{a}$ ga, ko'paytmasi $\dfrac{c}{a}$ ga teng.

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

x_1x_2=\frac{c}{a}

Isbot. Ildizlar formulasidagi ikki kasrni qo'shamiz va ko'paytiramiz:

x_1+x_2

=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

x_1x_2=\frac{(-b)^2-D}{4a^2}

=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}

Suratda kvadratlar ayirmasi

$D=0$ bo'lganda ham formula to'g'ri, bunda ildiz ikki marta sanaladi. Keltirilgan tenglamada, ya'ni $a=1$ da, formula oddiyroq: $x^2+px+q=0$ da $x_1+x_2=-p$ , $x_1x_2=q$ .

Tenglama	$x_1+x_2$	$x_1x_2$
Tenglama $x^2-9x+20=0$	$x_1+x_2$ $9$	$x_1x_2$ $20$
Tenglama $x^2+2x-15=0$	$x_1+x_2$ $-2$	$x_1x_2$ $-15$
Tenglama $3x^2-12x-7=0$	$x_1+x_2$ $4$	$x_1x_2$ $-\dfrac{7}{3}$
Tenglama $2x^2+5x+1=0$	$x_1+x_2$ $-\dfrac{5}{2}$	$x_1x_2$ $\dfrac{1}{2}$

Teoremani qo'llashdan oldin $D\ge 0$ ekanini tekshiring. $x^2+x+5=0$ da $D=-19$ : yig'indi $-1$ va ko'paytma $5$ deb yozish mumkin emas, chunki haqiqiy ildizlar yo'q.

Ishoraga e'tibor: yig'indi minus bilan olinadi. x² − 7x + 10 = 0 da yig'indi +7, ko'paytma +10.

Ildizlarni tanlash va ishorasini o'qish

Keltirilgan tenglamada butun ildizlarni og'zaki tanlash mumkin: ko'paytmasi $q$ , yig'indisi $-p$ bo'lgan ikki son izlanadi. $x^2-9x+20=0$ da $4$ va $5$ , $x^2+2x-15=0$ da $3$ va $-5$ . Ildizlarni topmasdan ularning ishorasini ham aytish mumkin, bunda $D\ge 0$ :

Ko'paytma	Yig'indi	Ildizlar
Ko'paytma $x_1x_2<0$	Yig'indiistalgan	IldizlarHar xil ishorali
Ko'paytma $x_1x_2>0$	Yig'indi $x_1+x_2>0$	IldizlarIkkalasi musbat
Ko'paytma $x_1x_2>0$	Yig'indi $x_1+x_2<0$	IldizlarIkkalasi manfiy
Ko'paytma $x_1x_2=0$	Yig'indiistalgan	IldizlarKamida biri nolga teng

Teskari teorema: ildizlardan tenglama

x^2-Sx+P=0

S=x_1+x_2

P=x_1x_2

Yig'indisi

S

, ko'paytmasi

P

bo'lgan sonlar shu tenglamaning ildizlari. Haqiqiy bo'lishi uchun

S^2\ge 4P

Misol: $3$ va $-7$ uchun $S=-4$ , $P=-21$ , tenglama $x^2+4x-21=0$ . Misol: $\dfrac{1}{2}$ va $3$ uchun $S=\dfrac{7}{2}$ , $P=\dfrac{3}{2}$ . Kasrlardan qutulish uchun $2$ ga ko'paytiramiz: $2x^2-7x+3=0$ .

Simmetrik ifodalar

$x_1$ va $x_2$ o'rni almashganda o'zgarmaydigan ifoda simmetrik deyiladi. Har qanday simmetrik ifoda $S$ va $P$ orqali yoziladi, shuning uchun ildizlarni topish shart emas. Asosiy g'oya: $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2$ dan ortiqcha hadni ayirish.

Ifoda	$S$ va $P$ orqali	$x^2-5x+2=0$ da
Ifoda $x_1^2+x_2^2$	$S$ va $P$ orqali $S^2-2P$	$x^2-5x+2=0$ da $21$
Ifoda $x_1^2x_2+x_1x_2^2$	$S$ va $P$ orqali $PS$	$x^2-5x+2=0$ da $10$
Ifoda $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=x_1^{-1}+x_2^{-1}$	$S$ va $P$ orqali $\dfrac{S}{P}$	$x^2-5x+2=0$ da $\dfrac{5}{2}$
Ifoda $\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$	$S$ va $P$ orqali $\dfrac{S^2-2P}{P}$	$x^2-5x+2=0$ da $\dfrac{21}{2}$
Ifoda $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}$	$S$ va $P$ orqali $\dfrac{S^2-2P}{P^2}$	$x^2-5x+2=0$ da $\dfrac{21}{4}$
Ifoda $(x_1-x_2)^2$	$S$ va $P$ orqali $S^2-4P$	$x^2-5x+2=0$ da $17$
Ifoda $x_1^3+x_2^3$	$S$ va $P$ orqali $S^3-3PS$	$x^2-5x+2=0$ da $95$
Ifoda $x_1^4+x_2^4$	$S$ va $P$ orqali $(S^2-2P)^2-2P^2$	$x^2-5x+2=0$ da $433$
Ifoda $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$	$S$ va $P$ orqali $S^2-P$	$x^2-5x+2=0$ da $23$
Ifoda $x_1^2x_2^4+x_1^4x_2^2$	$S$ va $P$ orqali $P^2(S^2-2P)$	$x^2-5x+2=0$ da $84$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish