Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar: matematika darsi

$x^4-29x^2+100=0$ to'rtinchi darajali tenglama, lekin $x^2$ ni bitta harf deb olsak, oddiy kvadrat tenglama bo'lib qoladi: ildizlar $\pm 2$ va $\pm 5$ . Bu darsdagi hamma usulning g'oyasi bitta: to'g'ri almashtirish topib, tenglamani kvadrat tenglamaga keltirish, keyin eski o'zgaruvchiga qaytish. Xato ko'pincha shu qaytishda va chetlatilishi kerak bo'lgan ildizlarda bo'ladi.

Almashtirishning umumiy tartibi

Takrorlanadigan ifodani $t$ deb belgilaymiz.
$t$ qanday qiymat olishi mumkinligini yozamiz: $x^2\ge 0$ , $\sqrt{\ldots}\ge 0$ , $x^2+1\ge 1$ .
$t$ ga nisbatan tenglamani yechamiz va mos kelmaydiganlarini tashlaymiz.
Har bir qolgan $t$ uchun eski o'zgaruvchiga qaytib, $x$ ni topamiz.
Savolga javob beramiz: ildizlar soni, yig'indisi yoki ko'paytmasi.

Bikvadrat tenglama

$ax^4+bx^2+c=0$ ko'rinishidagi tenglama bikvadrat deyiladi, bunda $a\ne 0$ . $t=x^2$ , $t\ge 0$ desak, $at^2+bt+c=0$ hosil bo'ladi. Har bir $t$ qiymati quyidagicha ildiz beradi:

$t$ qiymati	$x$ uchun	Ildizlar soni
$t$ qiymati $t>0$	$x$ uchun $x=\pm\sqrt{t}$	Ildizlar soni $2$ ta
$t$ qiymati $t=0$	$x$ uchun $x=0$	Ildizlar soni $1$ ta
$t$ qiymati $t<0$	$x$ uchun $x^2$ manfiy bo'la olmaydi	Ildizlar soni $0$ ta

Tenglama	$t$	Ildizlar
Tenglama $x^4-29x^2+100=0$	$t$ $4$ va $25$	Ildizlar $\pm 2,\ \pm 5$ : to'rtta
Tenglama $y^4-3y^2-4=0$	$t$ $4$ va $-1$	Ildizlar $\pm 2$ : ikkita, ko'paytmasi $-4$
Tenglama $x^4-4x^2=0$	$t$ $0$ va $4$	Ildizlar $0,\ \pm 2$ : uchta
Tenglama $x^4+5x^2+4=0$	$t$ $-1$ va $-4$	IldizlarHaqiqiy ildiz yo'q

Ildizlar qarama-qarshi juftlar bo'lib keladi, shuning uchun bikvadrat tenglama haqiqiy ildizlarining yig'indisi doim $0$ . Bir juftning ko'paytmasi $\sqrt{t}\cdot(-\sqrt{t})=-t$ . Koeffitsiyentlar irratsional bo'lsa ham usul o'zgarmaydi: $x^4-(\sqrt{5}+\sqrt{3})x^2+\sqrt{15}=0$ da Viyet bo'yicha $t=\sqrt{5}$ va $t=\sqrt{3}$ , ikkalasi musbat, ildizlar to'rtta.

Boshqa darajalar

Daraja ko'rsatkichlari $2n$ va $n$ bo'lsa, $t=x^n$ deyiladi. Toq darajada $t$ manfiy ham bo'la oladi va har bir $t$ dan bitta haqiqiy $x$ chiqadi.

x^6-9x^3+8=0

t=x^3:\quad t=1,\ t=8

x=1,\ x=2

Yig'indi

3

x^6+7x^3-8=0

t=x^3:\quad t=1,\ t=-8

x=1,\ x=-2

x^3=-8

da ildiz bor.

x^2=-8

dan farqi shu

Yangi o'zgaruvchining chegarasi

Almashtirishdan keyin $t$ ga qo'yilgan chegara ortiqcha ildizlarni darrov chetlatadi.

Almashtirish	Chegara	Misol
Almashtirish $t=x^2+2$	Chegara $t\ge 2$	Misol $t^2-7t+12=0$ : $t=3$ va $t=4$ , ya'ni $x^2=1$ va $x^2=2$
Almashtirish $t=(x^2+1)^2$	Chegara $t\ge 1$	Misol $t^2-15t-16=0$ : $t=16$ mos, $t=-1$ mos emas. $x^2+1=4$ , chunki $x^2+1$ musbat, $x=\pm\sqrt{3}$
Almashtirish $t=\sqrt{x^2+16}$	Chegara $t\ge 4$	Misol $\dfrac{8}{t^2}+\dfrac{2}{t}=1$ : $t^2-2t-8=0$ , $t=4$ mos, $t=-2$ mos emas. $x=0$ , bitta ildiz

Takrorlanadigan ifoda

Qavslar ichida bir xil ifoda ko'rinsa, uni $t$ deb olamiz. Qavslar faqat ozod had bilan farq qilsa ham shunday. $t$ ni shunday tanlaymizki, ko'paytma sodda bo'lsin.

(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0

t=x^2-3x:\quad t=4,\ t=-2

x^2-3x-4=0

dan

4

-1

x^2-3x+2=0

dan

1

2

. Yig'indi

6

(x^2+2x-3)(x^2+2x+3)

=16

t=x^2+2x:\quad t^2-9=16

t=\pm 5

x^2+2x-5=0

ning ildizlari bor, ko'paytmasi

-5

x^2+2x+5=0

D<0

(x^2+x+2)(x^2+x+3)=12

t=x^2+x+2

t^2+t-12=0

t=3,\ t=-4

x^2+x-1=0

ning ildizlari ko'paytmasi

-1

x^2+x+6=0

D<0

Viyet bilan yig'indi yoki ko'paytmani hisoblashdan oldin har bir yordamchi tenglamada D ni tekshiring. D < 0 bo'lgan tenglama javobga hech narsa qo'shmaydi.

Maxrajlarda takrorlansa ham xuddi shunday:

\dfrac{1}{x^2-4x-1}+\dfrac{3}{x^2-4x+3}=1

Bu yerda $t=x^2-4x$ deymiz: $\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{3}{t+3}=1$ . Umumiy maxrajga ko'paytirsak, $t^2-2t-3=0$ , ya'ni $t=3$ yoki $t=-1$ . Ikkalasi maxrajlarni nolga aylantirmaydi. $x^2-4x-3=0$ va $x^2-4x+1=0$ ning ikkalasida $D>0$ , har birida yig'indi $4$ , jami $8$ .

To'rtta qavs ko'paytmasi

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

=m

Bunday tenglamada ozod hadlar yig'indisi teng bo'lgan juftlarni tanlaymiz: $a+d=b+c$ . Odatda chetkilar va o'rtadagilar juftlanadi, shunda ikkala ko'paytmada bir xil $x^2+px$ paydo bo'ladi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish