Parametrli kvadrat tenglamalar: matematika darsi

$(a-3)x^2+4x+1=0$ tenglama qachon yagona ildizga ega? Ko'pchilik $D=0$ dan $a=7$ ni topib to'xtaydi va $a=3$ ni yo'qotadi: bu qiymatda tenglama chiziqli bo'lib qoladi va uning ham bitta ildizi bor. Parametrli kvadrat tenglamalarda javob ana shunday holatlarni ajratib ko'rishga bog'liq. Bu darsda hamma holat bittalab ko'riladi.

Birinchi savol: tenglama kvadratmi

Parametr $x^2$ oldida bo'lsa, avval bosh koeffitsiyent nol bo'ladigan qiymatni alohida ko'ramiz. Unda tenglama chiziqli yoki sonli tenglikka aylanadi.

Agar shartda aniq «kvadrat tenglama» deyilgan bo'lsa, bosh koeffitsiyent noldan farqli deb olinadi va chiziqli holat ko'rilmaydi. «Tenglama» deyilgan bo'lsa, u ham ko'riladi.

Ildizlar haqida savol	Shart ( $a\ne 0$ bo'lganda)	$a=0$ bo'lganda
Ildizlar haqida savolIkkita har xil ildiz	Shart ( $a\ne 0$ bo'lganda) $D>0$	$a=0$ bo'lgandaChiziqli tenglamaning ikki ildizi bo'lmaydi: bu holat chiqmaydi
Ildizlar haqida savolYagona ildiz	Shart ( $a\ne 0$ bo'lganda) $D=0$	$a=0$ bo'lganda $b\ne 0$ bo'lsa, $bx+c=0$ ham bitta ildiz beradi
Ildizlar haqida savolIldiz yo'q	Shart ( $a\ne 0$ bo'lganda) $D<0$	$a=0$ bo'lganda $b=0,\ c\ne 0$ bo'lsa, ildiz yo'q
Ildizlar haqida savolCheksiz ko'p ildiz	Shart ( $a\ne 0$ bo'lganda)Bo'lmaydi	$a=0$ bo'lgandaFaqat $a=b=c=0$ da

Ikkinchi koeffitsiyent juft bo'lsa, $\dfrac{D}{4}=k^2-ac$ dan foydalanamiz, bunda $b=2k$ . Parametrli ifodalarda hisob ancha yengil bo'ladi.

Ildizlar soni: asosiy turlar

Ikkita har xil ildiz. $x^2+6x+k=0$ da $D=36-4k>0$ , $k<9$ . Eng katta butun qiymat $8$ .
Parametr bosh koeffitsiyentda. $(m+1)x^2-4x+2=0$ da ikki har xil ildiz uchun $m\ne -1$ kerak. $\dfrac{D}{4}=4-2(m+1)$ , bu $2-2m$ ga teng va musbat bo'lishi kerak. Javob: $m<1$ , $m\ne -1$ .
Teng ildizlar. $x^2-(k+2)x+5k+1=0$ da $D=(k+2)^2-4(5k+1)$ . Soddalashtirsak, $k^2-16k=0$ , ya'ni $k=0$ yoki $k=16$ . Parametr bosh koeffitsiyentda emas, shuning uchun chiziqli holat yo'q.
Ikki ishorali natija. $16x^2+kx+9=0$ da $D=k^2-576=0$ , $k=\pm 24$ . Shartda «musbat» so'ralsa, $k=24$ .

Yagona ildiz: ikki holat

$(a-3)x^2+4x+1=0$ . $a=3$ da $4x+1=0$ , $x=-\dfrac{1}{4}$ : bitta ildiz. $a\ne 3$ da $\dfrac{D}{4}=4-(a-3)=7-a=0$ , $a=7$ . Tekshiruv: $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ . Javob: $a=3$ va $a=7$ .

Yechim yo'q: k = 0 ni ham tekshiring

$kx^2+4kx+3k-3=0$ . $k=0$ da $-3=0$ : yechim yo'q, bu qiymat javobga kiradi. $k\ne 0$ da diskriminant manfiy bo'lishi kerak:

\frac{D}{4}=4k^2-k(3k-3)

=k^2+3k<0

Bundan

-3<k<0

. Butun qiymatlar

-2,\ -1,\ 0

Hamma koeffitsiyentda umumiy ko'paytuvchi

Bunday tenglamada umumiy qavsni ajratib olamiz:

a(a+3)x^2

+(2a+6)x-a-3=0

\Rightarrow\ (a+3)(ax^2+2x-1)=0

Holatlar:

$a$	Tenglama	Ildizlar
$a$ $a=-3$	Tenglama $0=0$	IldizlarCheksiz ko'p
$a$ $a=0$	Tenglama $6x-3=0$	IldizlarBitta: $x=\dfrac{1}{2}$
$a$ $a=-1$	Tenglama $-x^2+2x-1=0$ , $\dfrac{D}{4}=1+a=0$	IldizlarBitta: $x=1$

Demak, bitta yechimga ega bo'ladigan qiymatlar ikkita: $a=0$ va $a=-1$ . $a=-3$ javobga kirmaydi.

Ildizlarning ishorasi

Shartlar Viyet teoremasidan chiqadi. Ko'paytma ishorasi ildizlar bir xil yoki har xil ishorali ekanini, yig'indi ishorasi qaysi biri ekanini aytadi.

Talab	Shartlar
Har xil ishorali	$\dfrac{c}{a}<0$ , ya'ni $ac<0$ . Bunda $D>0$ o'z-o'zidan bajariladi
Ikkalasi musbat	$D\ge 0$ , $-\dfrac{b}{a}>0$ , $\dfrac{c}{a}>0$
Ikkalasi manfiy	$D\ge 0$ , $-\dfrac{b}{a}<0$ , $\dfrac{c}{a}>0$
Qarama-qarshi sonlar	$b=0$ va $ac<0$
O'zaro teskari sonlar	$c=a$ va $D\ge 0$
Kamida biri nolga teng	$c=0$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish