Chiziqli tenglamalar sistemasi: matematika darsi

Ikki daftar va bitta ruchka $8$ ming so'm turadi, daftar ruchkadan $1$ ming so'm qimmat. Daftar narxini $x$ , ruchka narxini $y$ desak, bir vaqtda ikkita shart chiqadi: $2x+y=8$ va $x-y=1$ . Bunday masala tenglamalar sistemasi bilan yechiladi va javob ikkala shartni ham bajarishi kerak: $x=3$ , $y=2$ . Bu darsda ikki va uch noma'lumli chiziqli sistemalarning hamma ko'rinishini yechishni o'rganamiz.

Asosiy tushunchalar

Ikki noma'lumli chiziqli tenglama $ax+by=c$ ko'rinishida bo'ladi, bunda $a$ va $b$ koeffitsiyentlar, $c$ ozod had, $a$ va $b$ bir vaqtda nolga teng emas. Bitta shunday tenglama cheksiz ko'p yechimga ega: $2x+y=8$ ni $(0;8)$ , $(1;6)$ , $(3;2)$ va boshqa juftliklar qanoatlantiradi.

Bir nechta tenglama birgalikda qaralsa va ularning hammasini bajaradigan qiymatlar izlansa, sistema deyiladi. Sistema katta qavs bilan yoziladi:

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Ikki noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi

Sistemaning yechimi ikkala tenglamani ham to'g'ri tenglikka aylantiradigan $(x;y)$ juftlikdir. Sistemani yechish uning hamma yechimlarini topish yoki yechimi yo'qligini ko'rsatish demakdir.

Masalan, $(3;2)$ juftlik $2x+y=8$ , $x-y=1$ sistemaning yechimi: $6+2=8$ va $3-2=1$ . $(1;6)$ esa yechim emas: birinchi tenglama bajariladi, lekin $1-6=-5$ . Juftlikda tartib muhim: birinchi son $x$ , ikkinchi son $y$ .

Javobni ikkala tenglamaga qo'yib tekshiring: bittasiga mos kelishi yetarli emas.

O'rniga qo'yish usuli

Koeffitsiyenti $1$ yoki $-1$ bo'lgan noma'lumni tanlaymiz va uni boshqa noma'lum orqali ifodalaymiz.
Topilgan ifodani ikkinchi tenglamaga qo'yamiz, bir noma'lumli tenglama hosil bo'ladi.
Uni yechamiz va topilgan qiymatni ifodaga qo'yib, ikkinchi noma'lumni topamiz.
Ikkala tenglamada tekshiramiz.

Misol: $y-2x=-3$ , $3x+2y=15$ . Birinchisidan $y=2x-3$ kelib chiqadi.

3x+2(2x-3)=15

7x=21

x=3

Keyin

y=2\cdot 3-3=3

. Tekshiruv:

3-6=-3

9+6=15

Qo'shish usuli

Tengliklarni hadma-had qo'shish yoki ayirish mumkin. Maqsad bitta noma'lumni yo'qotish. Qarama-qarshi koeffitsiyentlarda tenglamalarni qo'shamiz, bir xil koeffitsiyentlarda ayiramiz. Koeffitsiyentlar har xil bo'lsa, avval tenglamalarni shunday songa ko'paytiramizki, ular absolyut qiymati bo'yicha tenglashsin. Eng qulay son koeffitsiyentlarning EKUK idir.

Misol: $4x+3y=18$ , $3x-2y=5$ . $y$ koeffitsiyentlari $3$ va $-2$ , ularni $6$ va $-6$ qilamiz: birinchi tenglamani $2$ ga, ikkinchisini $3$ ga ko'paytiramiz.

8x+6y=36

9x-6y=15

Qo'shsak,

y

yo'qoladi

17x=51

x=3

4\cdot 3+3y=18

y=2

Tekshiruv:

3\cdot 3-2\cdot 2=5

Bir xil koeffitsiyent bo'lsa, ayiramiz: $5x+2y=19$ , $3x+2y=13$ dan $2x=6$ , $x=3$ , so'ng $2y=4$ , $y=2$ .

Sistemaning ko'rinishi	Qulay usul
Birorta koeffitsiyent $1$ yoki $-1$	O'rniga qo'yish
Koeffitsiyentlar qarama-qarshi yoki teng	Qo'shish yoki ayirish
Hamma koeffitsiyent katta, $1$ yo'q	Ko'paytirib, keyin qo'shish

Kasrli koeffitsiyentlar

Avval har bir tenglamani o'z maxrajlarining EKUK iga ko'paytiramiz. Bunda har bir tenglama alohida ko'paytiriladi va o'ng tomon ham ko'paytiriladi. Surat yig'indi bo'lsa, qavsga olinadi.

\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=4\ \ \Rightarrow\ \ 2x+3y=24

6

ga ko'paytirdik

\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=2\ \ \Rightarrow\ \ 2x-y=8

4

ga ko'paytirdik

Ayirsak, $4y=16$ , $y=4$ , so'ng $x=6$ . Tekshiruv: $2+2=4$ va $3-1=2$ .

Yechimlar soni va grafik ma'nosi

Har bir chiziqli tenglama tekislikda to'g'ri chiziqni beradi, sistemaning yechimi esa ikkala chiziqning umumiy nuqtasidir. Ikki to'g'ri chiziq uch xil joylashadi, shuning uchun yechimlar soni ham uch xil. Quyidagi jadvalda $a_2$ , $b_2$ , $c_2$ noldan farqli deb olingan. Nol bo'lganda nima qilish parametrli sistemalar darsida ko'riladi.

Shart	Chiziqlar	Yechim	Misol
Shart $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$	ChiziqlarKesishadi	YechimYagona	Misol $2x+y=5$ , $x-y=1$
Shart $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$	ChiziqlarParallel	YechimYo'q	Misol $2x+4y=6$ , $x+2y=5$
Shart $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$	ChiziqlarUstma-ust	YechimCheksiz ko'p	Misol $2x+4y=6$ , $x+2y=3$

Yechish jarayonida bu holatlar o'zi ko'rinadi. $2x+4y=6$ , $x+2y=5$ sistemada ikkinchi tenglamani $2$ ga ko'paytirib ayirsak, $0=-4$ chiqadi: noto'g'ri tenglik, yechim yo'q. $2x+4y=6$ , $x+2y=3$ sistemada esa $0=0$ chiqadi: yechimlar cheksiz ko'p va ular $(3-2y;\ y)$ ko'rinishida, $y$ istalgan son.

Noma'lum maxrajda bo'lgan tenglamalar

Avval maxraj nolga teng bo'lmasligi shartini yozamiz, keyin ikkala tomonni maxrajga ko'paytiramiz. Misol: $\dfrac{3x+2y}{y}=11$ , $\dfrac{x-y}{y}=2$ . Bu yerda $y\ne 0$ .

3x+2y=11y\ \Rightarrow\ x=3y

x-y=2y\ \Rightarrow\ x=3y

Ikkala tenglama bitta shartga keldi

Demak, yechimlar cheksiz ko'p: $(3y;\ y)$ , bunda $y\ne 0$ . $(0;0)$ juftlik yechim emas, chunki maxraj nolga aylanadi.

Kasr $k$ ga teng bo'lsa, surat maxrajning $k$ karrasiga teng: $\dfrac{x+y}{z}=3$ dan $x+y=3z$ , bunda $z\ne 0$ . Xususan, kasr $1$ ga teng bo'lsa, surat maxrajga teng bo'ladi.

Yangi noma'lum kiritish

Bir xil ifoda ikkala tenglamada takrorlansa, uni yangi harf bilan belgilaymiz. Natijada oddiy chiziqli sistema chiqadi. Oxirida eski noma'lumlarga qaytish esdan chiqmasin.

Takrorlanadigan ifoda	Almashtirish	Shart
Takrorlanadigan ifoda $\dfrac{2}{x}$ va $\dfrac{3}{y}$	Almashtirish $u=\dfrac{1}{x}$ , $v=\dfrac{1}{y}$	Shart $x\ne 0$ , $y\ne 0$
Takrorlanadigan ifoda $\dfrac{6}{x+y}$ va $\dfrac{2}{x-y}$	Almashtirish $u=\dfrac{1}{x+y}$ , $v=\dfrac{1}{x-y}$	Shart $x+y\ne 0$ , $x-y\ne 0$
Takrorlanadigan ifoda $\dfrac{x+2y}{3}$ va $x-y$	Almashtirish $u=\dfrac{x+2y}{3}$ , $v=x-y$	ShartShart yo'q

Misol:

\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2

\frac{4}{x}-\frac{3}{y}=1

Almashtirsak, $2u+3v=2$ , $4u-3v=1$ . Qo'shamiz: $6u=3$ , $u=\dfrac{1}{2}$ , so'ng $v=\dfrac{1}{3}$ . Demak, $x=2$ , $y=3$ .

Misol:

\frac{x+2y}{3}+\frac{x-y}{2}=6

\frac{x+2y}{3}-\frac{x-y}{3}=1

$u=\dfrac{x+2y}{3}$ , $v=x-y$ deb almashtirsak:

u+\frac{v}{2}=6

u-\frac{v}{3}=1

Ayiramiz: $\dfrac{5v}{6}=5$ , $v=6$ , $u=3$ . Eski noma'lumlarga qaytamiz: $x+2y=9$ , $x-y=6$ , bundan $y=1$ , $x=7$ .

Uch noma'lumli sistema

Umumiy yo'l: ikki juft tenglamadan bir xil noma'lumni yo'qotamiz va ikki noma'lumli sistemaga kelamiz. Misol: $x+y+z=6$ , $2x-y+z=3$ , $x+2y-z=2$ . Birinchi va uchinchini qo'shsak, $2x+3y=8$ . Ikkinchi va uchinchini qo'shsak, $3x+y=5$ . Bundan $x=1$ , $y=2$ va birinchi tenglamadan $z=3$ .

Ko'pincha hamma noma'lumni alohida topish shart emas. Tenglamalarning tuzilishiga qarab qisqa yo'l tanlanadi:

Ko'rinish	Usul	Misol
Ko'rinish $x+y$ , $y+z$ , $x+z$	UsulHammasini qo'shamiz, $2(x+y+z)$ chiqadi	Misol $5,\ 7,\ 4$ : yig'indi $8$ , $z=3$ , $x=1$ , $y=4$
Ko'rinish $2x+y+z$ , $x+2y+z$ , $x+y+2z$	UsulHammasini qo'shamiz, $4(x+y+z)$ chiqadi	Misol $11,\ 12,\ 13$ : yig'indi $9$ , $x=2$ , $y=3$ , $z=4$
Ko'rinish $x+y+z$ , $x-y+z$ , $y+z-x$	UsulBirinchisidan boshqalarini ayiramiz	Misol $9,\ 3,\ 5$ : $2y=6$ , $2x=4$ , $z=4$
Ko'rinish $2m+n$ , $2n+p$ , $2p+m$	UsulHammasini qo'shamiz, $3(m+n+p)$ chiqadi	Misol $4,\ 5,\ 6$ : yig'indi $5$

Yig'indini topgach, undan bitta tenglamani ayirib, qolgan noma'lumni topamiz. Masalan, $x+y+z=8$ va $x+y=5$ bo'lsa, $z=3$ . Koeffitsiyentlar manfiy bo'lganda ham usul o'sha: $2q-4p=-8$ , $2t-4q=-2$ , $2p-4t=-2$ ni qo'shsak, $-2(p+q+t)=-12$ , ya'ni $p+q+t=6$ .

Noma'lumlarni topmasdan ifoda qiymatini topish

Savol alohida noma'lumni emas, ifodani so'rasa, tenglamalarni shunday songa ko'paytirib qo'shamizki, so'ralgan ifoda chiqsin. Bu sonlarni so'ralgan ifodaga qarab tanlaymiz.

2a+3b=7

4c-b=5\ \ \Rightarrow\ \ 12c-3b=15

Ikkinchisini

3

ga ko'paytirdik, chunki

b

ni yo'qotish kerak

(2a+3b)+(12c-3b)=7+15

2a+12c=22

a

c

alohida topilmaydi, ammo bu ifoda aniq

Yana bir misol: $2a-b=3$ , $b-c=5$ , $3c-a=4$ bo'lsa, uchalasini qo'shamiz: $b$ qisqaradi va $a+2c=12$ qoladi.

Uch noma'lumga ikkita tenglama berilsa, noma'lumlar alohida topilmaydi, lekin ularning nisbati topilishi mumkin. Ikkala tenglamadan bir noma'lumni, masalan $x$ ni ifodalab, ifodalarni tenglaymiz. Misol: $x+y=3z$ , $x-y=z$ dan $x=2z$ , $y=z$ , demak $z\ne 0$ da $\dfrac{x}{y}=2$ .

Kasrli ko'rinishda ham yo'l o'sha. Quyidagi tengliklar berilgan bo'lsin:

\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}}{z}=1

\frac{\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}}{y}=1

Kasr $1$ ga teng, demak surat maxrajga teng. Har biridan $x$ ni ifodalaymiz:

x=\frac{3z}{4}-\frac{y}{2}

x=\frac{3y}{2}-\frac{z}{4}

Ifodalarni tenglasak, $z=2y$ , ya'ni $\dfrac{y}{z}=\dfrac{1}{2}$ . Masalan, $(1;1;2)$ uchlik ikkala shartni bajaradi.

Ayniyat: koeffitsiyentlarni tenglashtirish

Ikki ko'phad $x$ ning barcha qiymatlarida teng bo'lsa, ya'ni tenglik ayniyat bo'lsa, $x$ ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlar teng bo'ladi.

Sababi: ikki xil ko'phadning ayirmasi noldan farqli ko'phad bo'lib, uning ildizlari soni chekli, ayniyatda esa ayirma har qanday $x$ da nolga teng. Bu qoida noma'lum koeffitsiyentlar uchun chiziqli sistema beradi.

Misol: $(ax^2-bx)+(bx^2+ax)=8x$ ayniyat bo'lsin. Chap tomon $(a+b)x^2+(a-b)x$ ga teng. O'ng tomonda $x^2$ yo'q, shuning uchun $a+b=0$ va $a-b=8$ . Bundan $a=4$ , $b=-4$ .

Kasrni oddiy kasrlarga ajratish ham shunday bajariladi. Avval maxrajni ko'paytuvchilarga ajratamiz:

x^2+x-12=(x-3)(x+4)

Kasrni ikki kasr yig'indisi deb yozamiz, bunda $x\ne 3$ , $x\ne -4$ :

\frac{x+11}{x^2+x-12}=\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x+4}

Umumiy maxrajga keltirib, suratlarni tenglaymiz:

x+11=a(x+4)+b(x-3)

=(a+b)x+4a-3b

Koeffitsiyentlardan $a+b=1$ , $4a-3b=11$ . Bundan $7a=14$ , $a=2$ , $b=-1$ . Qisqa yo'l: suratlar tengligi ko'phadlar tengligi bo'lgani uchun unga qulay $x$ ni qo'yish mumkin. $x=3$ da $14=7a$ , $x=-4$ da $7=-7b$ .

Ishlangan misollar

1-misol

$3x-y=11$ , $2x+5y=13$ bo'lsa, $x^2-y^2$ ni toping.

$y=3x-11$
Birinchi tenglamada $y$ ning koeffitsiyenti $-1$ , uni ifodalash eng oson.
$2x+5(3x-11)=13$
Ifodani ikkinchi tenglamaga qo'yamiz.
$17x=68,\quad x=4$
Qavsni ochamiz: $2x+15x-55=13$ .
$y=3\cdot 4-11=1$
Topilgan $x$ ni ifodaga qo'yamiz. Tekshiruv: $8+5=13$ .
$x^2-y^2=16-1=15$
Endi so'ralgan ifodani hisoblaymiz.

Javob: $15$

2-misol

Sistemani yeching:

\frac{x+y}{2}-\frac{y}{3}=\frac{5}{2}

\frac{x}{2}+y=0

$3(x+y)-2y=15$
Birinchi tenglamani maxrajlarning EKUK i $6$ ga ko'paytiramiz. Surat yig'indi bo'lgani uchun qavsda qoladi.
$3x+y=15$
Qavsni ochib, $y$ li hadlarni birlashtiramiz.
$x+2y=0$
Ikkinchi tenglamani $2$ ga ko'paytiramiz.
$x=-2y$
Oxirgi tenglamadan $x$ ni ifodalaymiz.
$-6y+y=15$
Buni $3x+y=15$ ga qo'yamiz.
$-5y=15,\quad y=-3$
O'xshash hadlarni birlashtiramiz va $-5$ ga bo'lamiz.
$x=-2\cdot(-3)=6$
Tekshiruv: $\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$ va $3-3=0$ .

Javob: $(6;\ -3)$

3-misol

Sistemadan $x+y$ ni toping:

\frac{14}{x+2y}+\frac{8}{2x-y}=4

\frac{7}{x+2y}-\frac{4}{2x-y}=0

$u=\frac{1}{x+2y},\quad v=\frac{1}{2x-y}$
Ikkala tenglamada bir xil kasrlar takrorlanadi. Bunda $x+2y\ne 0$ , $2x-y\ne 0$ .
$14u+8v=4,\quad 7u-4v=0$
Yangi noma'lumlarga nisbatan chiziqli sistema.
$14u-8v=0$
Ikkinchi tenglamani $2$ ga ko'paytiramiz.
$16v=4,\quad v=\frac{1}{4}$
Buni birinchi tenglamadan ayiramiz.
$7u=4v=1,\quad u=\frac{1}{7}$
$v$ ni $7u-4v=0$ ga qo'yamiz.
$x+2y=7,\quad 2x-y=4$
Eski noma'lumlarga qaytamiz: kasrni ag'darsak, maxraj chiqadi.
$y=2x-4$
Oddiy chiziqli sistema: ikkinchi tenglamadan $y$ ni ifodalaymiz.
$5x-8=7,\quad x=3$
Birinchi tenglamaga qo'yamiz: $x+2(2x-4)=5x-8$ .
$y=2\cdot 3-4=2$
Ikkinchi noma'lum. Maxrajlar $7$ va $4$ , nol emas.
$x+y=3+2=5$
So'ralgan yig'indi.

Javob: $5$

4-misol

$x+y+2z=17$ , $x+2y+z=14$ , $2x+y+z=13$ bo'lsa, $x+y$ ni toping.

$4x+4y+4z=44$
Har bir harf bir marta $2$ , ikki marta $1$ koeffitsiyent bilan kelgan, shuning uchun qo'shamiz: $17+14+13=44$ .
$x+y+z=11$
Ikkala tomonni $4$ ga bo'lamiz.
$z=17-11=6$
Birinchi tenglamadan $x+y+z=11$ ni ayirsak, faqat $z$ qoladi.
$x+y=11-6=5$
Yig'indidan $z$ ni ayiramiz. To'liq yechim $(2;3;6)$ .

Javob: $5$

5-misol

Quyidagi tenglik ayniyat bo'lsa, $a+b+c$ ni toping:

a(x-2)^2+b(x-2)+c

=2x^2-3x+5

$a(x-2)^2=ax^2-4ax+4a$
Chap tomonning birinchi hadini ochamiz.
$b(x-2)=bx-2b$
Ikkinchi hadni ham.
$ax^2+(b-4a)x+4a-2b+c$
Chap tomonni $x$ ning darajalari bo'yicha yig'amiz, $c$ ham qo'shildi.
$a=2,\quad b-4a=-3$
$x^2$ va $x$ oldidagi koeffitsiyentlarni o'ng tomondagilar bilan tenglaymiz.
$4a-2b+c=5$
Ozod hadlarni ham tenglaymiz.
$b=-3+8=5$
$a=2$ ni $b-4a=-3$ ga qo'yamiz.
$c=5-8+10=7$
$a$ va $b$ ni oxirgi tenglikka qo'yamiz.
$a+b+c=2+5+7=14$
Tekshiruv: $x=3$ da chap tomon $a+b+c$ ga, o'ng tomon $18-9+5=14$ ga teng.

Javob: $14$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
Topilgan $x$ ni yozib, $y$ ni topmaslik	Yechim juftlik: ikkala son ham topiladi
Faqat bitta tenglamada tekshirish	Ikkala tenglamaga qo'yib tekshiriladi
Tenglamani ko'paytirganda o'ng tomonni unutish	Har ikkala tomon va har bir had ko'paytiriladi
$\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{y}{3}$ ni $6$ ga ko'paytirib $3x+y-2y$ yozish	$3(x+y)-2y$ , ya'ni $3x+y$
$u=\dfrac{1}{x}$ da $u=2$ chiqsa, $x=2$ deb yozish	$x=\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{2}$
$0=0$ chiqsa, «yechim yo'q» deyish	$0=0$ da yechim cheksiz ko'p, $0=-4$ da yechim yo'q
$2(x+y+z)=16$ dan $x+y+z=16$ deyish	$2$ ga bo'linadi: $x+y+z=8$

Eslab qoling

Yechim ikkala tenglamani bajaradigan $(x;y)$ juftlik.
O'rniga qo'yish: koeffitsiyenti $\pm 1$ bo'lgan noma'lumni ifodalaymiz. Qo'shish: koeffitsiyentlarni tenglab, qo'shamiz yoki ayiramiz.
Kasrli koeffitsiyentda avval maxrajlarning EKUK iga ko'paytiramiz.
Takrorlanadigan ifodani yangi harf bilan belgilaymiz, maxrajlar nolga teng bo'lmasligini yozamiz.
$a_2$ , $b_2$ , $c_2$ noldan farqli bo'lsa: $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ da yagona yechim, $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$ da yechim yo'q, uchala nisbat teng bo'lsa cheksiz ko'p.
Uch noma'lumda avval hamma tenglamani qo'shib ko'ramiz.
Ayniyatda bir xil darajalar oldidagi koeffitsiyentlar teng.