Chiziqli va ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi: matematika darsi

To'g'ri to'rtburchakning perimetri $14$ , yuzi $12$ bo'lsa, tomonlari uchun $x+y=7$ va $xy=12$ sistema chiqadi. Tenglamalardan biri endi chiziqli emas. Javob ham ikkita juftlik: $(3;4)$ va $(4;3)$ . Bu darsda bunday sistemalarni yechishni va ko'pincha yechmasdan turib $x^2+y^2$ , $x^3+y^3$ kabi ifodalarning qiymatini topishni o'rganamiz.

Asosiy tushunchalar

Noma'lumlarning eng katta umumiy darajasi $2$ bo'lgan tenglama ikkinchi darajali deyiladi: $x^2+y^2=25$ , $xy=12$ , $y=x^2-1$ . Yechim yana ikkala tenglamani bajaradigan $(x;y)$ juftlik.

Grafikda $x^2+y^2=25$ aylana, $y=x^2-1$ parabola, chiziqli tenglama esa to'g'ri chiziqdir. To'g'ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesadi, unga urinadi yoki umuman tegmaydi. Shuning uchun bunday sistemada $2$ , $1$ yoki $0$ ta yechim bo'ladi.

O'rniga qo'yish usuli

Chiziqli tenglamadan bitta noma'lumni ifodalaymiz.
Ifodani ikkinchi darajali tenglamaga qo'yamiz, bir noma'lumli kvadrat tenglama chiqadi.
Har bir ildiz uchun ikkinchi noma'lumni chiziqli tenglamadan topamiz.
Har bir ildizdan bitta juftlik chiqadi. Juftliklarni yozib, tekshiramiz.

Misol: $x-y=1$ , $x^2+y^2=25$ . Birinchisidan $x=y+1$ .

(y+1)^2+y^2=25

y^2+y-12=0

Ikki tomonni

2

ga bo'ldik

y=3,\ x=4

\text{yoki}\ \ y=-4,\ x=-3

Javob:

(4;3)

(-3;-4)

Kvadrat tenglamadan ikki qiymat chiqsa, har biri uchun ikkinchi noma'lumni topib, ikkita yechim yozing.

Yechimlar sonini kvadrat tenglamaning diskriminanti aytadi:

Diskriminant	Yechimlar soni	Misol
Diskriminant $D>0$	Yechimlar soni $2$ ta	Misol $x-y=1$ , $x^2+y^2=25$
Diskriminant $D=0$	Yechimlar soni $1$ ta	Misol $y-x=-6$ , $x^2+y^2=18$ : $(x-3)^2=0$ , yechim $(3;-3)$
Diskriminant $D<0$	Yechimlar soniYo'q	Misol $x+y=6$ , $x^2+y^2=2$ : $x^2-6x+17=0$ , $D=-32$

Ba'zan o'rniga qo'ygach, kvadrat hadlar qisqaradi: $x-y=0$ , $x^2-y^2+4x-8=0$ da $y=x$ desak, $4x=8$ qoladi, yagona yechim $(2;2)$ . Agar chiziqli tenglama bitta noma'lumni darhol bersa, ikkinchisida kvadrat qolishi mumkin: $x+3=0$ , $xy^2=-12$ dan $x=-3$ , $y^2=4$ , javob $(-3;2)$ va $(-3;-2)$ .

Yig'indi va ko'paytma berilgan: teskari Viyet

$x+y=S$ , $xy=P$ bo'lsa, $x$ va $y$ sonlari $t^2-St+P=0$ tenglamaning ildizlaridir. Javobda ikkala tartib ham bo'ladi: $(x;y)$ va $(y;x)$ .

Sababi shu ayniyat:

(t-x)(t-y)

=t^2-(x+y)t+xy

Haqiqiy yechim bo'lishi uchun $D=S^2-4P\ge 0$ kerak. $S^2=4P$ bo'lsa, $x=y$ va yechim bitta.

Sistema	Tenglama	Javob
Sistema $x+y=8$ , $xy=15$	Tenglama $t^2-8t+15=0$	Javob $(3;5)$ , $(5;3)$
Sistema $x+y=-1$ , $xy=-6$	Tenglama $t^2+t-6=0$	Javob $(2;-3)$ , $(-3;2)$
Sistema $x+y=6$ , $xy=9$	Tenglama $t^2-6t+9=0$	Javob $(3;3)$
Sistema $x+y=2$ , $xy=5$	Tenglama $t^2-2t+5=0$ , $D=-16$	JavobYechim yo'q

Ayirma berilsa, o'rniga qo'yish qulay. $x-y=2$ , $xy=15$ da $x=y+2$ desak, $y^2+2y-15=0$ , $y=3$ yoki $y=-5$ . Javob: $(5;3)$ va $(-3;-5)$ . Bu yerda ikkala tartib emas, chunki sistema simmetrik emas.

Yig'indi va ko'paytma orqali yoziladigan ifodalar

Ko'p savollarda $x$ va $y$ ni topish shart emas. Asosiy formulalar quyida, $S=x+y$ , $P=xy$ . Oxirgi ustunda tekshiruv uchun $x=3$ , $y=4$ olingan, ya'ni $S=7$ , $P=12$ .

Ifoda	Formula	Tekshiruv
Ifoda $x^2+y^2$	Formula $S^2-2P$	Tekshiruv $49-24=25$
Ifoda $(x-y)^2$	Formula $S^2-4P$	Tekshiruv $49-48=1$
Ifoda $x^2+xy+y^2$	Formula $S^2-P$	Tekshiruv $49-12=37$
Ifoda $x^2-xy+y^2$	Formula $S^2-3P$	Tekshiruv $49-36=13$
Ifoda $x^3+y^3$	Formula $S(S^2-3P)=S^3-3PS$	Tekshiruv $7\cdot 13=91$
Ifoda $x^2y+xy^2$	Formula $PS$	Tekshiruv $12\cdot 7=84$
Ifoda $x^3y+xy^3$	Formula $P(S^2-2P)$	Tekshiruv $12\cdot 25=300$
Ifoda $x^2y^4+x^4y^2$	Formula $P^2(S^2-2P)$	Tekshiruv $144\cdot 25=3600$
Ifoda $x^4+y^4$	Formula $(x^2+y^2)^2-2P^2$	Tekshiruv $625-288=337$
Ifoda $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$	Formula $\dfrac{S}{P}$ , $P\ne 0$	Tekshiruv $\dfrac{7}{12}$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish