Yuqori darajali va simmetrik sistemalar

$x^3+y^3=35$, $x^2y+xy^2=30$ sistemada bir noma'lumni ikkinchisi orqali ifodalash juda og'ir. Vaholanki birinchi tenglamaga ikkinchisining uch karrasini qo'shsak, $(x+y)^3=125$ bo'ladi va javob bir necha qatorda chiqadi. Bu darsda murakkab sistemalarni sodda sistemaga aylantiradigan usullarni ko'ramiz. Sistemaning ko'rinishiga qarab usul tanlash shu mavzuning asosidir.

Simmetrik sistema

$x$ va $y$ o'rnini almashtirganda o'zgarmaydigan sistema simmetrik deyiladi. Masalan, $x^2+y^2=29$, $x+y=7$ simmetrik, $x-y=2$, $xy=3$ esa simmetrik emas. Agar $(a;b)$ yechim bo'lsa, $(b;a)$ ham yechim bo'ladi.

Simmetrik sistema $S=x+y$, $P=xy$ orqali yoziladi. Kerakli formulalar:

1. Har bir tenglamani $S$ va $P$ orqali yozamiz.
2. $S$ va $P$ uchun hosil bo'lgan sistemani yechamiz.
3. Har bir $(S;P)$ uchun $t^2-St+P=0$ tenglamani yechamiz. Bunda $S^2-4P\ge 0$ bo'lishi shart, aks holda bu juftlik tashlanadi.
4. Ikkala tartibni ham javobga yozamiz.

Misol: $x^2+y^2=29$, $x+y=7$. Bundan $49-2P=29$, $P=10$, $t^2-7t+10=0$, $t=2$ yoki $t=5$. Javob: $(2;5)$, $(5;2)$.

Misol: $xy+x+y=11$, $x^2y+xy^2=30$. Bu $S+P=11$, $SP=30$ ga teng, ya'ni $S$ va $P$ ham $z^2-11z+30=0$ ning ildizlari: $5$ va $6$. $S=5$, $P=6$ dan $(2;3)$, $(3;2)$ chiqadi. $S=6$, $P=5$ dan $(1;5)$, $(5;1)$ chiqadi. To'rtta yechim bor, $x+y$ ning eng katta qiymati $6$.

«Barcha yechimlardagi x va y lar yig'indisi» so'ralsa, har bir juftlikning ikkala sonini ham qo'shamiz: (2;3) va (3;2) uchun 10 chiqadi.

Kub formulalari bilan birlashtirish

Tenglamalardagi hadlar shu formulaning bo'laklari bo'lsa, ularni kerakli ko'paytuvchi bilan qo'shamiz yoki ayiramiz. Toq daraja ishorani saqlaydi, shuning uchun kub ildiz bitta qiymat beradi: $(x+y)^3=125$ dan $x+y=5$.

Uchinchi qatorda kub ayirmasi $2a$ va $b$ uchun yozilgan:

Tenglamalarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish

Tengliklarni hadma-had qo'shish va ayirish doim mumkin. Ko'paytirish va bo'lishda shartga qaraymiz: ifodaga bo'lishdan oldin u nolga teng emasligini ko'rsatamiz. O'ng tomoni noldan farqli bo'lsa, chap tomondagi ko'paytuvchilar ham nol emas.

Tenglamani ifodaga bo'lishdan oldin u nolga teng bo'la olmasligini tekshiring. Tenglamalarni ko'paytirgan yoki kvadratga ko'targan bo'lsangiz, javobni asl sistemaga qo'yib tekshiring.

Misol: $x^2+xy=28$, $y^2+xy=21$. Umumiy ko'paytuvchini chiqaramiz: $x(x+y)=28$, $y(x+y)=21$. Qo'shsak, $(x+y)^2=49$. Bo'lsak, $\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}$, bo'lish mumkin, chunki o'ng tomonlar nol emas. $x=4k$, $y=3k$ deb, $7k=\pm 7$ ni olamiz. Javob: $(4;3)$, $(-4;-3)$, ikkalasida ham $xy=12$.

Misol: $x^2y+xy^2=30$, $x^2y-xy^2=6$. Qo'shib va ayirib, $x^2y=18$, $xy^2=12$ ni olamiz. Ko'paytirsak, $(xy)^3=216$, $xy=6$. Demak:

Ko'paytmalar berilganda hamma tenglamani ko'paytiramiz. $ab=18$, $bc=12$, $ac=6$ bo'lsa, $(abc)^2=18\cdot 12\cdot 6=1296$, $abc=\pm 36$. Har bir son ko'paytmani qolgan ikkitasining ko'paytmasiga bo'lib topiladi: $a=\dfrac{abc}{bc}=\pm 3$. $\sqrt{abc}$ so'ralsa, ildiz ostida faqat musbat qiymat olinadi: $\sqrt{36}=6$.

Juft darajaga ko'targanda ishora yo'qoladi: $(xy)^2=36$ dan $xy=\pm 6$. Ishorani asl tenglamadan aniqlaymiz. Toq darajada ishora saqlanadi: $x^3y^3=27$ dan faqat $xy=3$.

Misol: $x^2+y^2=10$, $x^3y^3=27$. Bu yerda $xy=3$, shuning uchun: