Parametrli tenglamalar sistemasi

$2x+3y=5$, $4x+6y=k$ sistemaga qarang. $k=10$ bo'lsa, yechimlar cheksiz ko'p, boshqa har qanday $k$ da bitta ham yechim yo'q. Bitta harfning qiymati sistemaning taqdirini hal qiladi. Bu darsda parametrning qanday qiymatida sistema yagona yechimga ega, yechimga ega emas yoki cheksiz ko'p yechimga ega bo'lishini aniqlaymiz.

Asosiy tushunchalar

Parametr noma'lum emas, u qiymati oldindan tanlanadigan son. Masalan, $ax+2y=3$, $2x+y=1$ sistemada $x$, $y$ noma'lum, $a$ parametr. $a=1$ da bu bir sistema, $a=4$ da boshqa sistema. Savol sistemani yechish emas, $a$ ning kerakli qiymatlarini topishdir.

Uch holat va nisbatlar

Har bir tenglama to'g'ri chiziq. Chiziqlarning yo'nalishini $x$ va $y$ koeffitsiyentlari belgilaydi. $a_2$, $b_2$, $c_2$ noldan farqli bo'lganda:

Birinchi ikki nisbat teng bo'lsa, bir tenglamaning chap tomoni ikkinchisining chap tomoniga proporsional, ya'ni chiziqlar parallel yoki ustma-ust. Uchinchi nisbat ularni ajratadi. Testlarda shu uch shartning to'g'riligi ham so'raladi: yuqoridagi shartlar bilan uchalasi to'g'ri.

Koeffitsiyent nol bo'lishi mumkin bo'lsa

Maxrajda parametr bo'lsa, u nolga teng bo'lishi mumkin va nisbat ma'nosini yo'qotadi. Shuning uchun nisbatlar o'rniga xochsimon tenglikdan foydalanamiz. Birinchi tenglamani $b_2$ ga, ikkinchisini $b_1$ ga ko'paytirib ayirsak, $(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$ chiqadi, $y$ uchun ham shunga o'xshash. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Bu jadval har bir tenglamada $x$ yoki $y$ koeffitsiyentlaridan kamida bittasi noldan farqli bo'lganda ishlaydi. Agar parametrning biror qiymatida tenglamaning ikkala koeffitsiyenti nol bo'lib qolsa, tenglama $0=c$ ko'rinishini oladi: $c\ne 0$ da yechim yo'q, $c=0$ da bu tenglama sistemaga shart qo'shmaydi.

Amalda eng ishonchli yo'l: $a_1b_2=a_2b_1$ dan parametrni topib, har bir qiymatni sistemaga qo'yib ko'rish. Misol: $x+ay=1$, $ax+y=4a$. $\Delta=1-a^2$, shuning uchun $a=\pm 1$ da chiziqlar parallel yoki ustma-ust.