Chiziqli tengsizliklar va ularning sistemalari: matematika darsi

Tarif oyiga $30$ ming so'm turadi va har bir qo'shimcha gigabayt uchun yana $4$ ming so'm olinadi. Yoningizda $70$ ming so'm bo'lsa, nechta gigabayt olasiz? Javob tenglama emas, tengsizlik beradi: $30+4x\le 70$ , ya'ni $x\le 10$ . Bu darsda shunday tengsizliklar va ularning sistemalarini yechishni, keyin javobdan butun yechimlar sonini, yig'indisini va boshqa so'raladigan qiymatlarni xatosiz topishni o'rganamiz.

Tengsizlik va uning yechimi

Tengsizlik ikki ifodaning $<$ , $>$ , $\le$ yoki $\ge$ belgisi bilan bog'lanishidir. $<$ va $>$ qat'iy, $\le$ va $\ge$ noqat'iy belgilar deyiladi. $x\ge 3$ yozuvi $x$ soni $3$ dan katta yoki $3$ ga teng degani.

Noma'lumning tengsizlikni to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiradigan har bir qiymati uning yechimi deyiladi. Masalan, $2x+1>5$ uchun $x=3$ yechim, chunki $7>5$ . $x=2$ yechim emas, chunki $5>5$ noto'g'ri. Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yechim yo'qligini ko'rsatish demakdir. Yechimlar to'plami bir nechta oraliqdan, bitta nuqtadan yoki butun son o'qidan iborat bo'lishi mumkin.

Oraliqlarning yozilishi

Dumaloq qavs chegara kirmasligini, kvadrat qavs kirishini bildiradi. Cheksizlik son emas, unga yetib bo'lmaydi, shuning uchun uning yonida har doim dumaloq qavs turadi.

Tengsizlik	Oraliq	Chegara
Tengsizlik $x>a$	Oraliq $(a;\,+\infty)$	Chegara $a$ kirmaydi
Tengsizlik $x\ge a$	Oraliq $[a;\,+\infty)$	Chegara $a$ kiradi
Tengsizlik $x<a$	Oraliq $(-\infty;\,a)$	Chegara $a$ kirmaydi
Tengsizlik $x\le a$	Oraliq $(-\infty;\,a]$	Chegara $a$ kiradi
Tengsizlik $a<x<b$	Oraliq $(a;\,b)$	Chegaraikkalasi kirmaydi
Tengsizlik $a\le x\le b$	Oraliq $[a;\,b]$ , kesma	Chegaraikkalasi kiradi
Tengsizlik $a\le x<b$	Oraliq $[a;\,b)$	Chegara $a$ kiradi, $b$ kirmaydi
Tengsizlik $a<x\le b$	Oraliq $(a;\,b]$	Chegara $a$ kirmaydi, $b$ kiradi

Yechim umuman yo'q bo'lsa, bo'sh to'plam $\varnothing$ yoziladi. Barcha haqiqiy sonlar yechim bo'lsa, $\mathbb{R}$ yoki $(-\infty;\,+\infty)$ yoziladi. Ikki oraliqning birlashmasi $\cup$ belgisi bilan yoziladi: $(-\infty;\,1)\cup[4;\,+\infty)$ yozuvi $x<1$ yoki $x\ge 4$ degani.

Tengsizlikni almashtirish qoidalari

Ikkala tomonga bir xil son yoki ifoda qo'shish mumkin. Shuning uchun had boshqa tomonga qarama-qarshi ishora bilan o'tadi, tengsizlik belgisi esa o'zgarmaydi: $x-5<3$ dan $x<8$ .
Ikkala tomonni musbat songa ko'paytirish yoki bo'lish mumkin, belgi o'zgarmaydi: $4x\ge 12$ dan $x\ge 3$ .
Ikkala tomonni manfiy songa ko'paytirsak yoki bo'lsak, belgi teskarisiga o'zgaradi: $-4x\ge 12$ dan $x\le -3$ .

Manfiy songa ko'paytirish yoki bo'lishda tengsizlik belgisi teskarisiga almashadi: $<$ o'rniga $>$ , $\le$ o'rniga $\ge$ .

Sababini oddiy misolda ko'rish mumkin: $5>2$ to'g'ri. $-1$ ga ko'paytirsak, $-5$ va $-2$ hosil bo'ladi va $-5<-2$ , ya'ni tartib teskari bo'ldi.

Chiziqli tengsizlikni yechish

Chiziqli tengsizlik almashtirishlardan keyin $ax>b$ ko'rinishiga keladi, belgi $<$ , $\ge$ yoki $\le$ ham bo'lishi mumkin. Yechish tartibi:

Maxrajlardan qutulamiz: ikkala tomonni maxrajlarning eng kichik umumiy karralisiga ko'paytiramiz.
Qavslarni ochamiz.
Noma'lumli hadlarni bir tomonga, sonlarni ikkinchi tomonga o'tkazamiz va o'xshash hadlarni birlashtiramiz.
Noma'lum oldidagi koeffitsiyentga bo'lamiz. U manfiy bo'lsa, belgini almashtiramiz.

5-2x\ge 11

-2x\ge 6

x\le -3

Manfiy

-2

ga bo'lganda belgi almashdi

Noma'lumni o'ng tomonda qoldirish ham mumkin: $3x+1<7x-11$ dan $12<4x$ , ya'ni $x>3$ . Bu usulda manfiy songa bo'lishga hojat qolmaydi.

Koeffitsiyent	$ax>b$	$ax<b$
Koeffitsiyent $a>0$	$ax>b$ $x>\dfrac{b}{a}$	$ax<b$ $x<\dfrac{b}{a}$
Koeffitsiyent $a<0$	$ax>b$ $x<\dfrac{b}{a}$	$ax<b$ $x>\dfrac{b}{a}$
Koeffitsiyent $a=0$	$ax>b$ $0>b$ : to'g'ri bo'lsa $\mathbb{R}$ , aks holda $\varnothing$	$ax<b$ $0<b$ : to'g'ri bo'lsa $\mathbb{R}$ , aks holda $\varnothing$

Noma'lum qisqarib ketganda

Noma'lum ikkala tomondan qisqarib ketsa, sonli tengsizlik qoladi. U to'g'ri bo'lsa, barcha $x$ yechim, noto'g'ri bo'lsa, yechim yo'q. Bu holatda javob oraliq emas.

2(x+1)>2x-3

2x+2>2x-3

2>-3

To'g'ri sonli tengsizlik:

x\in\mathbb{R}

3x-1<3(x-2)

3x-1<3x-6

-1<-6

Noto'g'ri sonli tengsizlik:

x\in\varnothing

Belgiga qarang: 0>0 noto'g'ri, 0≥0 esa to'g'ri. Shuning uchun 2x+3>2x+3 ning yechimi yo'q, 2x+3≥2x+3 ning yechimi esa barcha sonlar.

Kasrli va o'nli koeffitsiyentlar

Maxrajlar sonlardan iborat bo'lsa, ularning eng kichik umumiy karralisi musbat son, shuning uchun unga ko'paytirganda belgi o'zgarmaydi. Kasr oldida minus turgan bo'lsa, surat albatta qavsga olinadi: minus suratning hamma hadiga tegishli.

\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}\le 2

3x-2(x-1)\le 12

3x-2x+2\le 12

x\le 10

6

ga ko'paytirib, qavsni ochdik. Tekshiruv:

x=10

5-3=2

O'nli kasrlardan $10$ yoki $100$ ga ko'paytirib qutulamiz. O'nli va oddiy kasr aralash kelsa, ikkalasiga mos sonni olamiz: $0{,}5$ va $\dfrac{1}{3}$ uchun $6$ yoki $30$ . Aralash son avval noto'g'ri kasrga aylantiriladi: $2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$ .

0{,}2(x-5)>0{,}5x-1

2x-10>5x-10

x<0

10

ga ko'paytirdik, keyin

-3x>0

-3

ga bo'ldik

Ko'rinishi kvadrat, aslida chiziqli

Tengsizlikda $x^2$ bo'lsa ham, qavslarni ochgach u qisqarib ketishi mumkin. Shuning uchun avval qisqa ko'paytirish formulalari bilan soddalashtiramiz.

(x+1)^2-x(x-3)<11

5x+1<11

x<2

x^2+2x+1-x^2+3x=5x+1

(3x-1)(3x+1)-9x^2\ge x-4

-1\ge x-4

x\le 3

Kvadratlar ayirmasi

9x^2-1

bo'ladi,

9x^2

qisqaradi

Qo'sh tengsizlik

$a<f(x)<b$ yozuvi ikki shartni birga bildiradi: $f(x)>a$ va $f(x)<b$ . Uning uchala qismiga bir xil amal qo'llanadi, manfiy songa bo'lganda ikkala belgi ham almashadi.

1\le\frac{x+4}{2}<5

2\le x+4<10

-2\le x<6

Uchala qismni

2

ga ko'paytirib,

4

ni ayirdik

-1<3-2x\le 7

-4<-2x\le 4

2>x\ge -2

Javobni kichikdan kattaga yozamiz:

-2\le x<2

«Ifodaning qiymati oraliqqa tegishli» degan shart ham qo'sh tengsizlikdir. Masalan, $\dfrac{3y+1}{4}$ kasrning qiymati $(-1;\,2)$ oraliqda bo'lsa, $-1<\dfrac{3y+1}{4}<2$ , bundan $-4<3y+1<8$ , $-5<3y<7$ , ya'ni $-\dfrac{5}{3}<y<\dfrac{7}{3}$ .

Tengsizliklar sistemasi

Sistema jingalak qavs bilan yoziladi va barcha shartlar bir vaqtda bajarilishini talab qiladi. Har bir tengsizlikni alohida yechamiz, keyin yechimlarning umumiy qismini (kesishmasini) olamiz. Buni son o'qida chizib ko'rish qulay.

Quyidagi jadvalda $a<b$ :

Sistema	Yechim	Qoida
Sistema $x>a$ va $x>b$	Yechim $x>b$	QoidaKattasidan katta
Sistema $x<a$ va $x<b$	Yechim $x<a$	QoidaKichigidan kichik
Sistema $x>a$ va $x<b$	Yechim $a<x<b$	QoidaOraliq
Sistema $x<a$ va $x>b$	Yechim $\varnothing$	QoidaUmumiy qism yo'q

Uchta va undan ko'p tengsizlik bo'lsa, quyi chegaralardan eng kattasi, yuqori chegaralardan eng kichigi olinadi. Chegaralar teng bo'lsa, belgilarga qaraymiz: $x\ge 3$ va $x\le 3$ sistemasining yechimi bitta son $x=3$ , $x>3$ va $x\le 3$ sistemasining yechimi esa yo'q.

Sistemada «va», majmuada «yoki» ishlaydi. Sistema uchun yechimlar kesishadi, «yoki» uchun birlashtiriladi. x>2 va x<5 bo'lsa (2;5), x<2 yoki x>5 bo'lsa ikki alohida nur.

Butun yechimlar: soni, yig'indisi, o'rta arifmetigi

Testda javob ko'pincha oraliq emas, undan olinadigan son bo'ladi. Avval oraliqni aniq yozamiz, keyin chegaralarning kirishini tekshirib, butun sonlarni belgilaymiz.

$m$ dan $n$ gacha ketma-ket butun sonlar $m,\ m+1,\ \ldots,\ n$ uchun, ikkala uchi ham kirsa:

n-m+1\ \text{ta son}

m+(m+1)+\ldots+n

=\frac{(m+n)(n-m+1)}{2}

Birinchi va oxirgi son yarim yig'indisini sonlar soniga ko'paytiramiz

Misol: $-4\le x<7$ da butun sonlar $-4$ dan $6$ gacha, ya'ni $6-(-4)+1=11$ ta. Yig'indisi $\dfrac{(-4+6)\cdot 11}{2}=11$ . Qarama-qarshi sonlar juft-juft qisqaradi, shuning uchun $(-4)+\ldots+4=0$ va faqat $5+6=11$ qoladi. Ketma-ket butun sonlarning o'rta arifmetigi birinchi va oxirgi sonning yarim yig'indisiga teng: $\dfrac{-4+6}{2}=1$ .

Savol	Nima qilinadi	$2<x\le 8$ uchun
SavolButun yechimlar soni	Nima qilinadiRo'yxatni sanaymiz, chegaralarni tekshiramiz	$2<x\le 8$ uchun $3,\ldots,8$ : $6$ ta
SavolYig'indisi	Nima qilinadiQo'shamiz	$2<x\le 8$ uchun $33$
SavolO'rta arifmetigi	Nima qilinadiYig'indini soniga bo'lamiz	$2<x\le 8$ uchun $\dfrac{33}{6}=5{,}5$
SavolEng katta butun yechim	Nima qilinadiYuqori chegaraga qaraymiz	$2<x\le 8$ uchun $8$
SavolEng kichik butun yechim	Nima qilinadiQuyi chegaraga qaraymiz	$2<x\le 8$ uchun $3$
SavolKesma uzunligi	Nima qilinadi $[a;\,b]$ uchun $b-a$	$2<x\le 8$ uchun $(2;\,8]$ uzunligi $6$

Tushunchalarni aralashtirmaslik kerak. Natural sonlar $1$ dan boshlanadi, $0$ natural emas. Butun sonlarga manfiy sonlar va $0$ ham kiradi. Tub sonlar $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ldots$ bo'lib, $1$ tub son emas.

Misol: $2<\dfrac{x+1}{3}\le 8$ dan $6<x+1\le 24$ , ya'ni $5<x\le 23$ . Tub yechimlar $7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23$ , jami $6$ ta. $5$ kirmaydi, chunki tengsizlik u yerda qat'iy.

Kasr chegara bilan ishlash

Chegara butun bo'lmasa, uni taxminan hisoblab, qaysi ikki butun son orasida turganini aniqlaymiz. Manfiy chegarada ehtiyot bo'lamiz: $x>-3{,}9$ bo'lsa, eng kichik butun yechim $-3$ , chunki $-4<-3{,}9$ .

2+\frac{3x-4}{5}>\frac{x-2}{2}+\frac{1-x}{4}

24+12x>5x-15

7x>-39

x>-\frac{39}{7}

20

ga ko'paytirdik

$\dfrac{39}{7}\approx 5{,}57$ , demak $x>-5{,}57$ . Eng kichik butun yechim $-5$ , chunki $-6<-5{,}57$ . Eng katta butun yechim esa yo'q: yechim yuqoridan chegaralanmagan.

Aniqlanish sohasi tengsizliklar sistemasini beradi

Kvadrat ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lmaydi: $\sqrt{f}$ uchun $f\ge 0$ .
Kasr maxraji nolga teng bo'lmaydi.
Ildiz maxrajda tursa, ikkala shart birlashadi: $\dfrac{1}{\sqrt{f}}$ uchun $f>0$ .

Misol: $y=\dfrac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{9-x}}$ . Ildiz ostilari: $x\ge -5$ , $x\ge 1$ , $x\ge 3$ , $x\le 9$ , ya'ni $3\le x\le 9$ . Maxraj $\sqrt{x-3}=\sqrt{9-x}$ bo'lganda nolga aylanadi, ya'ni $x-3=9-x$ , $x=6$ . Butun qiymatlar $3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9$ , yig'indisi $36$ .

Koeffitsiyent ishorasini baholash

Noma'lum oldidagi ko'paytuvchilar harflar bilan berilgan bo'lsa, ularning ishorasini shartdan aniqlaymiz. Natural sonlar ko'paytmasi $N$ ga teng bo'lsa, ularning har biri $N$ ning bo'luvchisi, demak $1$ dan $N$ gacha.

Misol: $p$ va $q$ natural, $pq=6$ bo'lsin. $(p-7)(q+2)(x-4)>0$ ni yechamiz. $p\le 6$ bo'lgani uchun $p-7<0$ , $q+2$ esa musbat. Ikkala tomonni manfiy $(p-7)(q+2)$ ga bo'lamiz, belgi almashadi: $x-4<0$ , ya'ni $x<4$ .

Avval sonni hisoblang

Koeffitsiyent daraja yoki ildiz ko'rinishida berilgan bo'lsa, avval uni hisoblaymiz. Kasr ko'rsatkichda, $a>0$ uchun, $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m$ . Masalan, $16^{\frac{3}{4}}=2^3=8$ va $\sqrt[3]{(-27)^2}=\sqrt[3]{729}=9$ . Shunda $16^{\frac{3}{4}}\cdot a-\sqrt[3]{(-27)^2}<0$ tengsizlik $8a-9<0$ ga keladi, ya'ni $a<\dfrac{9}{8}$ .

Ishlangan misollar

1-misol

Tengsizlikni yeching: $7-2(x+1)\ge 3x-10$

$7-2x-2\ge 3x-10$
Qavsni ochamiz. Minus qavsdagi ikkala hadga ham tegishli.
$5-2x\ge 3x-10$
Chapdagi sonlarni birlashtiramiz: $7-2=5$ .
$15\ge 5x$
Noma'lumni o'ngga, sonlarni chapga o'tkazamiz. Koeffitsiyent musbat chiqdi.
$x\le 3$
Musbat $5$ ga bo'lamiz, belgi o'zgarmaydi. Tekshiruv: $x=3$ da chap tomon $-1$ , o'ng tomon ham $-1$ , belgi noqat'iy bo'lgani uchun $3$ kiradi.

Javob: $(-\infty;\,3]$

2-misol

Sistema butun yechimlarining sonini va yig'indisini toping:

\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{4}\le 2

3x-1>x+5

$4(x+2)-3(x-1)\le 24$
Birinchi tengsizlikni $12$ ga ko'paytiramiz. Ikkinchi kasr oldidagi minus qavs bilan yoziladi.
$x+11\le 24,\quad x\le 13$
Qavslarni ochamiz: $4x+8-3x+3=x+11$ .
$2x>6,\quad x>3$
Ikkinchi tengsizlik: noma'lumlarni chapga, sonlarni o'ngga o'tkazamiz.
$3<x\le 13$
Umumiy qism. $3$ kirmaydi, $13$ kiradi.
$4,\ 5,\ \ldots,\ 13:\quad 13-4+1=10$
Butun yechimlar soni.
$\frac{(4+13)\cdot 10}{2}=85$
Ketma-ket sonlar yig'indisi formulasi.

Javob: $10$ ta, yig'indisi $85$

3-misol

Sistemaning natural yechimlari yig'indisini toping:

\frac{(x+2)^2}{4}-x<\frac{x^2+9}{4}

2-x\ge\frac{x-4}{3}-\frac{x+1}{2}

$x^2+4x+4-4x<x^2+9$
Birinchisini $4$ ga ko'paytiramiz.
$4<9$
$x^2$ va $4x$ qisqaradi, to'g'ri sonli tengsizlik qoladi. Demak bu shart har qanday $x$ da bajariladi va javobga ta'sir qilmaydi.
$12-6x\ge 2(x-4)-3(x+1)$
Ikkinchisini $6$ ga ko'paytiramiz.
$12-6x\ge -x-11,\quad 23\ge 5x$
O'ngda $2x-8-3x-3=-x-11$ . Noma'lumni o'ngga, sonlarni chapga o'tkazamiz.
$x\le 4{,}6$
$23:5=4{,}6$ . Natural yechimlar $1,\ 2,\ 3,\ 4$ .
$1+2+3+4=10$
$5$ kirmaydi, chunki $5>4{,}6$ .

Javob: $10$

4-misol

Sistema butun yechimlarining o'rta arifmetigini toping:

0{,}5(3x-1)<\frac{2x+7}{3}

0{,}2(x+8)>0{,}7-x

$3(3x-1)<2(2x+7)$
Birinchisini $6$ ga ko'paytiramiz: $0{,}5\cdot 6=3$ .
$9x-3<4x+14$
Qavslarni ochamiz.
$5x<17,\quad x<3{,}4$
Hadlarni o'tkazib, $5$ ga bo'lamiz.
$2x+16>7-10x$
Ikkinchisini $10$ ga ko'paytiramiz.
$12x>-9,\quad x>-0{,}75$
Hadlarni o'tkazib, $12$ ga bo'lamiz.
$-0{,}75<x<3{,}4:\quad 0,\ 1,\ 2,\ 3$
$-1$ kirmaydi, chunki $-1<-0{,}75$ . Eng kichik butun yechim $0$ .
$\frac{0+1+2+3}{4}=1{,}5$
Yig'indini sonlar soniga bo'lamiz.

Javob: $1{,}5$

5-misol

$2x-y=m+4$ , $x+y=2m-1$ sistemaning yechimida $x>0$ va $y<0$ bo'ladigan $m$ ning qiymatlarini toping.

$3x=3m+3,\quad x=m+1$
Tenglamalarni qo'shsak, $y$ yo'qoladi.
$y=2m-1-(m+1)=m-2$
Ikkinchi tenglamadan $y$ ni topamiz. Qavs oldidagi minusga e'tibor beramiz.
$m+1>0,\quad m>-1$
Birinchi shart: $x>0$ .
$m-2<0,\quad m<2$
Ikkinchi shart: $y<0$ .
$-1<m<2$
Ikkala shart birga bajariladi. Tekshiruv: $m=0$ da $x=1$ , $y=-2$ , tenglamalar ham to'g'ri: $2+2=4$ va $1-2=-1$ .

Javob: $(-1;\,2)$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$-3x>6$ dan $x>-2$	Manfiy songa bo'lganda belgi almashadi: $x<-2$
Had o'tganda tengsizlik belgisi ham almashdi	Hadning ishorasi almashadi, tengsizlik belgisi emas
$\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}$ ni $3x-2x-1$ deb yozish	$3x-2(x-1)$ , ya'ni $3x-2x+2$
$[-3;\,5)$ da butun sonlar $9$ ta	$-3,\ldots,4$ : $4-(-3)+1=8$ ta, chunki $5$ kirmaydi
$x>-3{,}9$ da eng kichik butun son $-4$	$-4<-3{,}9$ , shuning uchun $-3$
$a<b$ da $x<a$ , $x>b$ javobi $(a;\,b)$	Umumiy qism yo'q: $\varnothing$
Noma'lum qisqarsa, $x=0$ deb yozish	Sonli tengsizlik to'g'ri bo'lsa $\mathbb{R}$ , noto'g'ri bo'lsa $\varnothing$
Natural yechimlarga $0$ ni qo'shish	Natural sonlar $1$ dan boshlanadi

Eslab qoling

Manfiy songa ko'paytirish va bo'lishda belgi teskarisiga o'zgaradi.
$ax>b$ da $a=0$ bo'lsa, javob $\mathbb{R}$ yoki $\varnothing$ .
Sistema yechimi tengsizliklar yechimlarining kesishmasi. Qo'sh tengsizlikda amal uchala qismga qo'llanadi.
Qat'iy belgida chegara kirmaydi, noqat'iy belgida kiradi, cheksizlik yonida har doim dumaloq qavs.
$m$ dan $n$ gacha butun sonlar soni $n-m+1$ , yig'indisi $\dfrac{(m+n)(n-m+1)}{2}$ .
Ildiz osti $f\ge 0$ , maxraj nolga teng emas, maxrajdagi ildiz ostida $f>0$ .