Oraliqlar usuli: kvadrat va ratsional tengsizliklar: matematika darsi

$x^2<9$ tengsizlikni $x<3$ deb yechish tabiiy tuyuladi, lekin unda $x=-5$ ham yechim bo'lib qoladi, holbuki $25<9$ noto'g'ri. To'g'ri javob $(-3;\,3)$ . Ko'paytma va kasrlarda ishora noma'lumning qiymatiga bog'liq ravishda almashadi. Oraliqlar usuli shu ishorani tartib bilan aniqlaydi va bu mavzudagi deyarli har bir tengsizlikni yechish uchun yetarli.

Kvadrat tengsizlik

$ax^2+bx+c>0$ (yoki $<$ , $\ge$ , $\le$ ), $a\ne 0$ kvadrat tengsizlik deyiladi. Uchhadning ildizlari $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ , bunda $D=b^2-4ac$ . $D\ge 0$ bo'lsa, uni $a(x-x_1)(x-x_2)$ ko'rinishida yozish mumkin. Grafigi parabola: $a>0$ da yuqoriga ochilgan, ildizlar orasida o'qdan pastda, tashqarida o'qdan yuqorida.

$a>0$ va ikkita ildiz bo'lsa: ifoda ildizlar orasida manfiy, ildizlardan tashqarida musbat.

To'liq jadval. Bunda $a>0$ , $x_1<x_2$ , $D=0$ da yagona ildiz $x_0$ . Ustun sarlavhasidagi belgi $ax^2+bx+c$ ni $0$ bilan solishtiradi:

$D$	$>0$	$\ge 0$	$<0$	$\le 0$
$D$ $D>0$	$>0$ $x<x_1$ yoki $x>x_2$	$\ge 0$ $x\le x_1$ yoki $x\ge x_2$	$<0$ $x_1<x<x_2$	$\le 0$ $x_1\le x\le x_2$
$D$ $D=0$	$>0$ $x\ne x_0$	$\ge 0$ $\mathbb{R}$	$<0$ $\varnothing$	$\le 0$ $x=x_0$
$D$ $D<0$	$>0$ $\mathbb{R}$	$\ge 0$ $\mathbb{R}$	$<0$ $\varnothing$	$\le 0$ $\varnothing$

Misollar: $x^2-2x-8\le 0$ da ildizlar $-2$ va $4$ , javob $[-2;\,4]$ . $x^2-6x+9>0$ da $(x-3)^2>0$ , javob $x\ne 3$ . $x^2+x+3>0$ da $D=-11<0$ , javob $\mathbb{R}$ .

Bosh koeffitsiyent manfiy bo'lsa, ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytiramiz va belgini almashtiramiz. Avval barcha hadlar bir tomonga yig'iladi:

-x^2+x+6\ge 0

x^2-x-6\le 0

-2\le x\le 3

x^2-x-6=(x-3)(x+2)

Chala tengsizliklar formulasiz yechiladi:

Tengsizlik	Qanday yechiladi	Javob
Tengsizlik $x^2+7x\ge 0$	Qanday yechiladi $x(x+7)\ge 0$	Javob $(-\infty;\,-7]\cup[0;\,+\infty)$
Tengsizlik $x^2\le 16$	Qanday yechiladi $(x-4)(x+4)\le 0$	Javob $[-4;\,4]$
Tengsizlik $x^2>25$	Qanday yechiladi $(x-5)(x+5)>0$	Javob $(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$
Tengsizlik $x^2<-1$	Qanday yechiladiKvadrat manfiy bo'lmaydi	Javob $\varnothing$

Ildizlar irratsional bo'lsa, ularni taxminan hisoblab, butun yechimlarni topamiz. $x^2-4x+1<0$ da ildizlar $2\pm\sqrt{3}$ , ya'ni taxminan $0{,}27$ va $3{,}73$ . Butun yechimlar $1,\ 2,\ 3$ .

Oraliqlar usuli

Barcha hadlarni bir tomonga o'tkazamiz, ikkinchi tomonda $0$ qolsin.
Ko'paytuvchilarga ajratamiz. Har bir qavsda $x$ oldidagi koeffitsiyent musbat bo'lsin: $(5-x)$ ni $-(x-5)$ deb yozamiz, ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytirib, belgini almashtiramiz.
Har bir qavsning nolini topib, son o'qiga o'sish tartibida qo'yamiz.
Eng o'ngdagi oraliqda hamma qavs musbat, shuning uchun ishora $+$ . Chapga yurib, har bir nuqtada ishorani aniqlaymiz.
Kerakli ishorali oraliqlarni olamiz va chegaralarning kirishini tekshiramiz.

Misol: $(x+3)(x-1)(x-6)<0$ . Nollar $-3,\ 1,\ 6$ :

Oraliq	Sinov nuqtasi	Qiymat	Ishora
Oraliq $(6;\,+\infty)$	Sinov nuqtasi $x=7$	Qiymat $10\cdot 6\cdot 1=60$	Ishora $+$
Oraliq $(1;\,6)$	Sinov nuqtasi $x=2$	Qiymat $5\cdot 1\cdot(-4)=-20$	Ishora $-$
Oraliq $(-3;\,1)$	Sinov nuqtasi $x=0$	Qiymat $3\cdot(-1)\cdot(-6)=18$	Ishora $+$
Oraliq $(-\infty;\,-3)$	Sinov nuqtasi $x=-4$	Qiymat $(-1)\cdot(-5)\cdot(-10)=-50$	Ishora $-$

Javob: $(-\infty;\,-3)\cup(1;\,6)$ . Ishora nima uchun almashadi? Nuqtadan o'tganda faqat bitta qavsning ishorasi o'zgaradi, qolganlari o'sha-o'sha qoladi.

Sinov nuqtasini hech bo'lmaganda bitta oraliq uchun qo'yib tekshiring. Bu javobdagi ko'p xatoni ushlaydi.

Juft darajali nuqta

Qavs toq darajada bo'lsa, uning nolidan o'tganda ishora almashadi. Juft darajada bo'lsa, almashmaydi.

Sababi: $(x-a)^2$ nuqtaning ikki tomonida ham musbat. Misol: $(x+2)^2(x-1)^3(x-5)\le 0$ . Nollar $-2$ (juft), $1$ (toq), $5$ (toq). O'ngdan: $(5;\,+\infty)$ da $+$ , $(1;\,5)$ da $-$ , $(-2;\,1)$ da $+$ , $(-\infty;\,-2)$ da yana $+$ . Javob: $\{-2\}\cup[1;\,5]$ . Belgi noqat'iy bo'lgani uchun alohida nuqta $x=-2$ ham kiradi.

Juft nuqtada eng ko'p xato qilinadi. Bitta ifoda uchun to'rt belgini solishtiramiz:

Tengsizlik	Javob	Izoh
Tengsizlik $(x-2)^2(x+1)>0$	Javob $(-1;\,2)\cup(2;\,+\infty)$	Izoh $x=2$ da $0>0$ noto'g'ri
Tengsizlik $(x-2)^2(x+1)\ge 0$	Javob $[-1;\,+\infty)$	Izoh $x=2$ oraliq ichida qoladi
Tengsizlik $(x-2)^2(x+1)<0$	Javob $(-\infty;\,-1)$	Izoh $x=2$ da $0<0$ noto'g'ri
Tengsizlik $(x-2)^2(x+1)\le 0$	Javob $(-\infty;\,-1]\cup\{2\}$	Izoh $x=2$ alohida nuqta, uni unutmang

Ishorasi doimiy ko'paytuvchilar

Ishorasi har doim bir xil ko'paytuvchini chiqarib tashlash mumkin, chunki u javobni o'zgartirmaydi. Musbat ko'paytuvchiga bo'lganda belgi saqlanadi, manfiyga bo'lganda almashadi.

$x^2+1$ va $x^2+x+3$ har doim musbat. Ikkinchisida $D<0$ , $a>0$ .
$-2x^2-55$ har doim manfiy.

To'liq kvadrat ajratib ko'rish ham mumkin:

x^2-6x+10

=(x-3)^2+1>0

Masalan, quyida birinchi qavsni tashlab yuboramiz:

(x^2+x+3)(x-2)(x+5)<0

(x-2)(x+5)<0

-5<x<2

Birinchi qavs doim musbat

Modul ham manfiy bo'lmaydi, lekin nolga aylanishi mumkin. $|x^2-9|(x-5)(x+3)<0$ da $x=\pm 3$ ko'paytmani nolga aylantiradi, qat'iy tengsizlikda ular chiqariladi. Javob: $-3<x<5$ , $x\ne 3$ . Butun yechimlar $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 4$ , jami $6$ ta. Belgi $\le$ bo'lganda esa bu nuqtalar yechimga qo'shilardi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish