Parametrli tengsizliklar: matematika darsi

$x^2-4x+a>0$ tengsizlik $a=5$ da barcha $x$ uchun to'g'ri, chunki $(x-2)^2+1>0$ . $a=3$ da esa $x=2$ uchun $-1>0$ , ya'ni noto'g'ri. Javob parametrga bog'liq, va savol ko'pincha shu bog'liqlikni topishni so'raydi: $a$ qanday bo'lganda tengsizlik doim bajariladi, sistema yechimga ega bo'lmaydi yoki ildizlar manfiy bo'ladi. Bu darsda shu savollarning hammasi uchun tayyor shartlarni va ularning kelib chiqishini ko'ramiz.

Parametr nima

Parametr tenglama yoki tengsizlikda qatnashadigan, ammo noma'lum sifatida izlanmaydigan harfdir. U biror son deb qaraladi, shunchaki qiymati oldindan aytilmagan. $(a-2)x>3$ da $x$ noma'lum, $a$ parametr. Har bir $a$ uchun alohida tengsizlik hosil bo'ladi. Parametrli vazifalarning asosiy qoidasi: ishorasi noma'lum ifodaga bo'lishdan oldin holatlarga ajratish kerak.

Chiziqli tengsizlik: uchta holat

Holat	$Ax>B$	$Ax\ge B$
Holat $A>0$	$Ax>B$ $x>\dfrac{B}{A}$	$Ax\ge B$ $x\ge\dfrac{B}{A}$
Holat $A<0$	$Ax>B$ $x<\dfrac{B}{A}$	$Ax\ge B$ $x\le\dfrac{B}{A}$
Holat $A=0$	$Ax>B$ $0>B$ : $B<0$ da $\mathbb{R}$ , aks holda $\varnothing$	$Ax\ge B$ $0\ge B$ : $B\le 0$ da $\mathbb{R}$ , aks holda $\varnothing$

Misol: $(m+1)x<2(m+1)$ . $m>-1$ da musbat songa bo'lamiz: $x<2$ . $m<-1$ da belgi almashadi: $x>2$ . $m=-1$ da $0<0$ , yechim yo'q. Demak yechim $x>2$ bo'lishi uchun $m<-1$ kerak.

«Barcha $x$ da bajariladi» yoki «yechimi yo'q» degan savolda faqat $A=0$ holati mos kelishi mumkin, chunki $A\ne 0$ da yechim doim nur bo'ladi. Misol: $a(x-2)>3x-7$ ni $(a-3)x>2a-7$ ko'rinishida yozamiz. $a=3$ da $0>-1$ to'g'ri, demak barcha $x$ yechim. Boshqa $a$ larda yechim nur, shuning uchun javob faqat $a=3$ .

Kvadrat uchhad doim musbat yoki doim manfiy

$a>0$ bo'lsa, parabola yuqoriga ochilgan. U butunlay o'qdan yuqorida bo'lishi uchun o'qni kesmasligi, ya'ni ildizi bo'lmasligi kerak. $a<0$ bo'lsa, parabola pastga ochilgan va xuddi shu mulohaza teskari tomonga ishlaydi. Noqat'iy belgida parabola o'qqa urinishi ham mumkin, shuning uchun $D=0$ ham mos keladi.

Barcha $x$ da bajariladi	Shart ( $a\ne 0$ )
$ax^2+bx+c>0$	$a>0$ va $D<0$
$ax^2+bx+c\ge 0$	$a>0$ va $D\le 0$
$ax^2+bx+c<0$	$a<0$ va $D<0$
$ax^2+bx+c\le 0$	$a<0$ va $D\le 0$

Misollar: $x^2-8x+a\ge 0$ barcha $x$ da bajarilishi uchun $64-4a\le 0$ , ya'ni $a\ge 16$ . $a=16$ da $(x-4)^2\ge 0$ to'g'ri. Agar belgi qat'iy bo'lsa, $a=16$ kirmaydi, chunki $x=4$ da $0>0$ noto'g'ri.

$D$ ni hisoblashda ishoraga e'tibor bering. $tx^2-6x-1<0$ uchun:

D=36-4\cdot t\cdot(-1)=36+4t

Shart

t<0

36+4t<0

, ya'ni

t<-9

Bosh koeffitsiyent parametrga bog'liq bo'lsa, u nolga teng bo'lgan holatni alohida tekshiring: u yerda tengsizlik chiziqli bo'lib qoladi yoki son qoladi.

$ax^2-6x+a>0$ da $a=0$ bo'lsa, $-6x>0$ , bu barcha $x$ da emas. Demak $a=0$ mos emas. Qolgan shart: $a>0$ va $36-4a^2<0$ , ya'ni $a>3$ .

Yechimga ega emas

$f(x)>0$ yechimga ega emas, degani $f(x)\le 0$ barcha $x$ da bajariladi degani. Qat'iy belgi teskarisiga aylanganda noqat'iy bo'ladi.

Yechimga ega emas	Teng kuchli shart	Kvadrat uchhad uchun
Yechimga ega emas $f(x)>0$	Teng kuchli shart $f(x)\le 0$ barcha $x$ da	Kvadrat uchhad uchun $a<0$ , $D\le 0$
Yechimga ega emas $f(x)\ge 0$	Teng kuchli shart $f(x)<0$ barcha $x$ da	Kvadrat uchhad uchun $a<0$ , $D<0$
Yechimga ega emas $f(x)<0$	Teng kuchli shart $f(x)\ge 0$ barcha $x$ da	Kvadrat uchhad uchun $a>0$ , $D\le 0$
Yechimga ega emas $f(x)\le 0$	Teng kuchli shart $f(x)>0$ barcha $x$ da	Kvadrat uchhad uchun $a>0$ , $D<0$

Misol: $kx^2+6x+k-8>0$ yechimga ega bo'lmaydigan eng katta butun $k$ ni topamiz. $k=0$ da $6x-8>0$ ning yechimi bor, mos emas. Qolgan shart: $k<0$ va quyidagi tengsizlik:

36-4k(k-8)\le 0

k^2-8k-9\ge 0

(k-9)(k+1)\ge 0

-4

ga bo'lganda belgi almashadi

Bundan $k\le -1$ yoki $k\ge 9$ . $k<0$ bilan kesishmasi $k\le -1$ . Javob: $-1$ . Tekshiruv: $k=-1$ da $-(x-3)^2>0$ , yechim yo'q.

Butun parametr va irratsional chegara

Parametr uchun tengsizlikning ildizlari irratsional chiqsa, butun qiymatlarni qo'yib tekshirish tezroq. Misol: $10$ dan oshmaydigan nechta natural $n$ da $nx^2+6x>2-2n$ barcha $x$ da bajariladi?

nx^2+6x+2n-2>0

\frac{D}{4}=9-n(2n-2)<0

2n^2-2n-9>0

n>0

bo'lgani uchun parabola yuqoriga ochilgan

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish