Tengsizliklarni isbotlash, eng katta va eng kichik qiymat: matematika darsi

$40$ metr sim bilan to'g'ri to'rtburchak shaklidagi maydonni o'rash kerak. Tomonlari yig'indisi $20\ \text{m}$ . $5$ va $15$ tomonli maydon $75\ \text{m}^2$ , $10$ va $10$ tomonli maydon esa $100\ \text{m}^2$ bo'ladi, va bundan kattasi yo'q. Buni hisoblab sinamasdan isbotlash mumkin. Bu darsda sonli tengsizliklar xossalari, asosiy tengsizliklar va ifodaning eng katta, eng kichik qiymatini topish usullarini o'rganamiz.

Sonli tengsizliklarning xossalari

Ta'rif: $a>b$ degani $a-b$ musbat degani. Xossalarning hammasi shundan kelib chiqadi.

Xossa	Shart	Izoh
Xossa $a>b$ , $b>c$ dan $a>c$	ShartHar doim	IzohZanjir
Xossa $a+c>b+c$	Shart $a>b$	IzohHar qanday $c$
Xossa $ac>bc$	Shart $a>b$ , $c>0$	IzohChunki $ac-bc=c(a-b)>0$
Xossa $ac<bc$	Shart $a>b$ , $c<0$	IzohBelgi almashadi
Xossa $a+c>b+d$	Shart $a>b$ , $c>d$	IzohBir xil yo'nalishdagilarni qo'shish mumkin
Xossa $ac>bd$	Shart $a>b>0$ , $c>d>0$	IzohFaqat musbat sonlar uchun
Xossa $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$	Shart $a>b$ , ikkalasi bir xil ishorali	IzohTartib teskari bo'ladi
Xossa $a^n>b^n$ , $\sqrt{a}>\sqrt{b}$	Shart $a>b>0$	Izoh $n$ natural son

Shartsiz qo'llab bo'lmaydigan joylarni qarshi misol bilan ko'ramiz. Bitta qarshi misol umumiy tasdiqni rad etish uchun yetarli:

Noto'g'ri tasdiq	Qarshi misol
$a>b$ dan $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$	$a=2$ , $b=1$ : $\dfrac{1}{2}<1$
$a>b$ dan $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$ har doim	$a=2$ , $b=-1$ : $\dfrac{1}{2}>-1$
$a>b$ dan $a^2>b^2$	$a=-1$ , $b=-3$ : $1<9$
$a>b$ , $c>d$ dan $a-c>b-d$	$5>1$ , $4>0$ : $1>1$ noto'g'ri
$a>b$ , $c>d$ dan $ac>bd$	$1>-2$ , $3>-4$ : $3>8$ noto'g'ri

Ifoda qiymatini baholash

$a<x<b$ va $c<y<d$ bo'lsin. Yig'indini baholash uchun hadma-had qo'shamiz: $a+c<x+y<b+d$ . Ayirmani esa qo'shishga keltiramiz: $x-y=x+(-y)$ , bunda $-d<-y<-c$ , shuning uchun $a-d<x-y<b-c$ . Ko'paytmada hamma son musbat bo'lishi kerak: $ac<xy<bd$ .

Misol: $2<x\le 5$ , $1\le y<3$ .

Ifoda	Baho	Nima uchun chegara shunday
Ifoda $x+y$	Baho $(3;\,8)$	Nima uchun chegara shunday $3$ uchun $x=2$ , $8$ uchun $y=3$ kerak, ikkalasi ham taqiqlangan
Ifoda $x-y$	Baho $(-1;\,4]$	Nima uchun chegara shunday $4$ ga $x=5$ , $y=1$ da erishiladi. $-1$ uchun $x=2$ , $y=3$ kerak
Ifoda $xy$	Baho $(2;\,15)$	Nima uchun chegara shunday $2$ uchun $x=2$ , $15$ uchun $y=3$ kerak

Baholashda chegara faqat unga kerak bo'lgan barcha uchlar kirganda kiradi. Bir o'zgaruvchi ikki joyda qatnashsa, avval qavsdan chiqaring.

Misol: $1<x\le 4$ , $2\le y<6$ bo'lsa, $xy+x=x(y+1)$ . $3\le y+1<7$ , shuning uchun $3<x(y+1)<28$ . $x$ ni ikki marta alohida baholash aniq javob bermaydi.

Noma'lum boshqa ifoda orqali chegaralangan bo'lsa, uni o'sha ifoda orqali yozamiz. Masalan, quyidagi shartlar berilgan bo'lsin:

xy=\frac{5}{12}

24<\frac{5}{y}<72

Birinchi tenglikdan:

x=\frac{5}{12y}=\frac{1}{12}\cdot\frac{5}{y}

Uchala qismni $12$ ga bo'lamiz: $2<x<6$ . Butun qiymatlar $3,\ 4,\ 5$ .

Tengsizlikni isbotlash: ayirma usuli

Har qanday haqiqiy son kvadrati manfiy emas: $t^2\ge 0$ , tenglik faqat $t=0$ da.

$A\ge B$ ni isbotlash uchun $A-B$ ni tuzamiz va uni kvadratlar yig'indisi yoki musbat ko'paytuvchilar ko'rinishida yozamiz. Masalan, $a^2+b^2+5\ge 2a+4b$ uchun ayirma $(a-1)^2+(b-2)^2\ge 0$ , chunki $1+4=5$ . Tenglik $a=1$ , $b=2$ da.

Tengsizlik	Shart	Isbot	Tenglik
Tengsizlik $a^2+b^2\ge 2ab$	ShartHar qanday $a,\ b$	Isbot $(a-b)^2\ge 0$	Tenglik $a=b$
Tengsizlik $(a+b)^2\ge 4ab$	ShartHar qanday $a,\ b$	Isbot $(a-b)^2\ge 0$	Tenglik $a=b$
Tengsizlik $2(a^2+b^2)\ge(a+b)^2$	ShartHar qanday $a,\ b$	Isbot $(a-b)^2\ge 0$	Tenglik $a=b$
Tengsizlik $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$	ShartHar qanday $a,\ b,\ c$	IsbotUchta kvadrat yig'indisining yarmi	Tenglik $a=b=c$
Tengsizlik $x+\dfrac{1}{x}\ge 2$	Shart $x>0$	Isbot $\dfrac{(x-1)^2}{x}\ge 0$	Tenglik $x=1$
Tengsizlik $x+\dfrac{1}{x}\le -2$	Shart $x<0$	Isbot $\dfrac{(x+1)^2}{x}\le 0$	Tenglik $x=-1$
Tengsizlik $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2$	Shart $ab>0$	Isbot $\dfrac{(a-b)^2}{ab}\ge 0$	Tenglik $a=b$

O'rta arifmetik va o'rta geometrik

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}

a\ge 0,\ b\ge 0

Tenglik faqat

a=b

da. Isbot:

(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0

Amaliyotda ikki ko'rinishda ishlatiladi:

a+b\ge 2\sqrt{ab}

ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2

Ko'paytma o'zgarmas bo'lsa, yig'indi eng kichik. Yig'indi o'zgarmas bo'lsa, ko'paytma eng katta. Ikkalasi ham

a=b

Uchta shartni tekshiring: qo'shiluvchilar manfiy emas, ko'paytma (yoki yig'indi) o'zgarmas, tenglik haqiqatan bajariladi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish