Modulli ifodalar: matematika darsi

$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$ ifodaning qiymati $2-\sqrt{5}$ emas, chunki bu son manfiy, kvadrat ildiz esa manfiy bo'lmaydi. To'g'ri javob $\sqrt{5}-2$ . Modul aynan shu ishorani nazorat qiladi. Bu darsdan keyin har qanday modulli ifodani hisoblay olasiz, shart berilganda soddalashtira olasiz va uning eng kichik qiymatini topa olasiz.

Modulning ta'rifi

Sonning moduli son o'qida shu sondan nolgacha bo'lgan masofadir. Masofa manfiy bo'lmaydi, shuning uchun modul ham manfiy bo'lmaydi. $|-7|=7$ , chunki $-7$ nuqta noldan $7$ birlik uzoqda.

|a|=\begin{cases}a, & a\ge 0\\-a, & a<0\end{cases}

Manfiy bo'lmagan son o'zgarmaydi, manfiy son qarama-qarshisiga almashadi

Ifoda	Hisob	Qiymat
Ifoda $\|7\|$	Hisob $7>0$ , o'zi qoladi	Qiymat $7$
Ifoda $\|-7\|$	Hisob $-7<0$ , qarama-qarshisi olinadi	Qiymat $7$
Ifoda $\|0\|$	Hisobnoldan masofa nol	Qiymat $0$
Ifoda $\|3-8\|$	Hisobavval ichi: $3-8=-5$	Qiymat $5$
Ifoda $-\|-5\|$	Hisobmodul $5$ , oldidagi minus qoladi	Qiymat $-5$

−a har doim ham manfiy son emas. a = −3 bo'lsa, −a = 3. Shuning uchun |a| = −a yozuvi a manfiy bo'lganda musbat sonni beradi.

Modulni ochish uchun ichidagi ifodaning ishorasini aniqlaymiz. Ichi musbat yoki nol bo'lsa, o'zgarishsiz yozamiz. Ichi manfiy bo'lsa, butun ifodani teskari ishora bilan yozamiz: $|f|=-f$ .

Modulning xossalari

Xossa	Sharti	Misol
Xossa $\|a\|\ge 0$	Shartihar qanday $a$	Misol $\|-4\|=4\ge 0$
Xossa $\|a\|=0\iff a=0$	Shartifaqat nolning moduli nol	Misol $\|x-2\|=0$ dan $x=2$
Xossa $\|-a\|=\|a\|$ , $\|a-b\|=\|b-a\|$	Shartihar qanday $a,\ b$	Misol $\|2-9\|=\|9-2\|=7$
Xossa $\|ab\|=\|a\|\cdot\|b\|$	Shartihar qanday $a,\ b$	Misol $\|(-2)\cdot 5\|=2\cdot 5=10$
Xossa $\left\|\dfrac{a}{b}\right\|=\dfrac{\|a\|}{\|b\|}$	Sharti $b\ne 0$	Misol $\left\|\dfrac{-6}{3}\right\|=\dfrac{6}{3}=2$
Xossa $\|a\|^2=a^2$	Shartihar qanday $a$	Misol $\|-3\|^2=(-3)^2=9$
Xossa $a\le\|a\|$ , $-a\le\|a\|$	Shartihar qanday $a$	Misol $-3\le\|-3\|$
Xossa $\|a+b\|\le\|a\|+\|b\|$	Shartitenglik $ab\ge 0$ da	Misol $\|3+(-5)\|=2$ , $\|3\|+\|-5\|=8$

Modul yig'indiga bo'linmaydi: |a + b| ni |a| + |b| deb yozish xato. Ko'paytma va bo'linmada esa bo'linadi.

Sonli ifodani hisoblash

Modul belgisi qavs vazifasini bajaradi: avval ichi to'liq hisoblanadi, keyin modul olinadi. Modullar ichma-ich tursa, eng ichkisidan boshlaymiz. Modul oldidagi son ko'paytuvchidir, ya'ni $5|4-7|$ bu $5\cdot 3$ degani.

|-6|+|2-9|-|-4|

=6+7-4=9

Har bir modul alohida hisoblanadi

|2-3|1-6||=|2-3\cdot 5|

=|-13|=13

Eng ichki modul birinchi

Modullarni taqqoslashda ularni bir xil ko'rinishga keltiramiz. Davriy kasrda qavsdagi raqam cheksiz takrorlanadi: $2{,}(3)=2{,}333\ldots$ . Masalan, $\left|-2{,}(3)\right|$ , $\left|2\dfrac{1}{4}\right|$ , $|-2{,}3|$ va $|1{,}9|$ sonlari $2{,}333\ldots$ , $2{,}25$ , $2{,}3$ va $1{,}9$ ga teng. Kamayish tartibida: $2{,}333\ldots>2{,}3>2{,}25>1{,}9$ .

Ildizli sonlarning moduli

Ichining ishorasini bilish uchun ildizni baholaymiz. Agar $a\ge 0$ va $b>0$ bo'lsa, $\sqrt{a}<b$ tengsizlik $a<b^2$ bilan bir xil. Ikki ildizni kvadratlari orqali taqqoslaymiz.

Ifoda	Taqqoslash	Natija
Ifoda $\|\sqrt{10}-3\|$	Taqqoslash $10>9$ , ichi musbat	Natija $\sqrt{10}-3$
Ifoda $\|\sqrt{10}-4\|$	Taqqoslash $10<16$ , ichi manfiy	Natija $4-\sqrt{10}$
Ifoda $\|\sqrt{5}-\sqrt{7}\|$	Taqqoslash $5<7$ , ichi manfiy	Natija $\sqrt{7}-\sqrt{5}$
Ifoda $\|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\|$	Taqqoslash $12<18$ , ichi manfiy	Natija $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
Ifoda $\|3-\pi\|$	Taqqoslash $\pi\approx 3{,}14>3$ , ichi manfiy	Natija $\pi-3$

Shart berilgan ifodani soddalashtirish

Harfli ifodada modulni shartsiz ochib bo'lmaydi. Shart berilgan bo'lsa, har bir modul ichining ishorasini shu shartdan chiqaramiz. Tekshirish uchun oraliqdan bitta son olib qo'yish qulay.

$-1<x<3$ bo'lsa:

|x+1|+|x-3|

=(x+1)+(3-x)=4

x+1>0

x-3<0

. Masalan,

x=0

1+3=4

$x<-2$ bo'lsa:

|x+2|-|x-3|

=(-x-2)-(3-x)=-5

Ikkala modul ichi ham manfiy

Bir harfli ikki ifoda ko'p uchraydi. $a\ge 0$ da $|a|+a=2a$ , $|a|-a=0$ . $a<0$ da esa $|a|+a=0$ , $|a|-a=-2a$ .

Shart berilmasa: oraliqlarga bo'lish

Shart yo'q bo'lsa, modul ichlarining nollarini topamiz. Ular son o'qini oraliqlarga bo'ladi, har bir oraliqda ishoralar o'zgarmaydi. $|x-1|+|x+2|$ ifodada nollar $-2$ va $1$ :

Oraliq	Ochilishi	Natija
Oraliq $x<-2$	Ochilishi $(1-x)+(-x-2)$	Natija $-2x-1$
Oraliq $-2\le x<1$	Ochilishi $(1-x)+(x+2)$	Natija $3$
Oraliq $x\ge 1$	Ochilishi $(x-1)+(x+2)$	Natija $2x+1$

Ishora ifodasi

\frac{|a|}{a}=\begin{cases}1, & a>0\\-1, & a<0\end{cases}

a=0

da ifoda aniqlanmagan

Shuning uchun $y=\dfrac{|x-2|}{x-2}+3$ funksiya atigi ikki qiymat oladi: $x>2$ da $1+3=4$ , $x<2$ da $-1+3=2$ , $x=2$ da esa aniqlanmagan. Uning qiymatlar to'plami $\{2;\,4\}$ . Bu oraliq emas, alohida ikki son.

Ikki son uchun ishoralarni ko'rib chiqamiz. $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}$ ifoda $a,\ b$ ikkalasi musbat bo'lsa $2$ , ikkalasi manfiy bo'lsa $-2$ , ishoralari har xil bo'lsa $0$ ga teng.

Kvadrat ildiz va modul

\sqrt{a^2}=|a|

Har qanday

a

uchun. Juft darajali ildiz har doim modul beradi

Ifoda	Sharti	Natija
Ifoda $\sqrt{x^2}$ , $\sqrt[4]{x^4}$	Shartihar qanday $x$	Natija $\|x\|$
Ifoda $\sqrt[3]{x^3}$ , $\sqrt[5]{x^5}$	Shartihar qanday $x$	Natija $x$ , ishora saqlanadi
Ifoda $(\sqrt{x})^2$	Shartifaqat $x\ge 0$	Natija $x$

Daraja toq bo'lsa, ishora saqlanadi. Shu sababli $\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$ va $\sqrt[3]{-4^3}=\sqrt[3]{-64}=-4$ , lekin $\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$ . Xuddi shunday, $f(x)=\sqrt{x^3-1}$ bo'lsa:

f(\sqrt[3]{x^2+1})=\sqrt{x^2+1-1}

=\sqrt{x^2}=|x|

Javob

x

emas,

|x|

Ildiz ostida ko'pincha to'liq kvadrat yashiringan bo'ladi. Uni yig'ish uchun quyidagi ayniyatlar kerak:

a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2

(a+b)^2-4ab=(a-b)^2

(a-b)^2+4ab=(a+b)^2

Masalan:

\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}

=|x-3|

Sonli holatda: $7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^2$ , chunki $2^2+(\sqrt{3})^2=7$ va $2\cdot 2\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ . Demak:

\sqrt{7-4\sqrt{3}}=|2-\sqrt{3}|

=2-\sqrt{3}

Ildiz ichida yana ildiz bo'lsa, ichki ildizni yangi harf bilan belgilaymiz. Masalan, ushbu ifodani olaylik:

\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}

-\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}

$t=\sqrt{x-1}\ge 0$ desak, $x=t^2+1$ va $x+3=t^2+4$ bo'ladi. Ildizlar ostida $(t+2)^2$ va $(t-2)^2$ hosil bo'ladi, ifoda esa $|t+2|-|t-2|$ ga aylanadi. $x>5$ bo'lsa, $t>2$ va natija $(t+2)-(t-2)=4$ .

Funksiya ichidagi modul

Funksiya bo'laklab berilsa, avval argument qaysi qatorga tushishini aniqlaymiz. Masalan:

f(x)=\begin{cases}|x-1|, & x>-2\\4-2|x|, & x\le -2\end{cases}

$3>-2$ , shuning uchun $f(3)=|3-1|=2$ .
$-3\le -2$ , shuning uchun $f(-3)=4-2\cdot 3=-2$ .

Demak $f(3)-f(-3)=4$ .

Eng kichik va eng katta qiymat

$|f(x)|$ ning eng kichik qiymati $f(x)=0$ tenglama ildizga ega bo'lgandagina $0$ ga teng. Avval ildiz borligini tekshiring.

$y=|x^2-x-6|+2$ da uchhadning ildizlari bor: $3$ va $-2$ . Shuning uchun $y_{\min}=2$ . Lekin $|x^2+2x+5|=|(x+1)^2+4|$ ning eng kichik qiymati $0$ emas, $4$ , chunki bu uchhad hech qachon nolga aylanmaydi.

Modul maxrajda tursa, kasr maxraj eng kichik bo'lganda eng katta bo'ladi. Masalan:

y=\frac{4}{2+|x^2-x-6|}-3

Modulning eng kichigi $0$ , shuning uchun:

y_{\max}=\frac{4}{2}-3=-1

$|x-a|$ son o'qida $x$ dan $a$ gacha masofa. Shuning uchun $|x-a|+|x-b|$ bu $x$ dan ikki nuqtagacha masofalar yig'indisi. $x$ kesma ichida bo'lsa, yig'indi kesma uzunligiga teng. Tashqarida esa undan katta.

|x-a|+|x-b|\ge|a-b|

Qiymatlar sohasi

[\,|a-b|;\,+\infty)

. Tenglik

x

soni

a

b

orasida bo'lganda

y=|x-1|+|x+2|

grafigi:

[-2;\,1]

kesmada

y=3

, tashqarida

y>3

Masalan, $y=|x-4|+|x+5|$ uchun $y_{\min}=9$ . $|7-x|=|x-7|$ bo'lgani uchun $|x-2|+|7-x|$ da ham $y_{\min}=5$ . Ayirmada esa:

|x-a|-|x-b|\le|a-b|

|x-a|-|x-b|\ge-|a-b|

Uchta modul yig'indisi o'rtadagi nuqtada eng kichik bo'ladi: $|x-1|+|x-2|+|x-6|$ uchun $x=2$ da $1+0+4=5$ .

Manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi

Modul, kvadrat va kvadrat ildiz manfiy bo'lmaydi. Ularning yig'indisi nolga teng bo'lsa, har biri alohida nolga teng.

$|x-2|+(y+3)^2=0$ dan $x=2$ , $y=-3$ . $(p-|q|)^2+(p-5)^2=0$ dan $p=5$ , $|q|=5$ , ya'ni $q=\pm 5$ . Shuning uchun $3p-q$ ifoda ikki qiymat oladi: $15-5=10$ va $15+5=20$ .

Kvadratlar orqali modulni topish

$\sqrt{a^2}=|a|$ bo'lgani uchun noma'lumlarning o'zini bilmasdan ham modulni topish mumkin. Bu ishoraga bog'liq bo'lmagan yagona javobni beradi.

(x\pm y)^2=x^2+y^2\pm 2xy

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy

$x^2+y^2=13$ va $xy=6$ bo'lsa, $(x+y)^2=13+12=25$ , $(x-y)^2=13-12=1$ . Demak $|x+y|=5$ , $|x-y|=1$ . Agar $x^2=144$ va $y^2=25$ bo'lsa, $|x|-|y|=12-5=7$ .

Ikki tenglik berilsa, ularni qo'shib yoki ayirib to'liq kvadrat yig'amiz:

$x^2-xy=40$ va $y^2-xy=-15$ ni qo'shsak, $(x-y)^2=25$ , ya'ni $|x-y|=5$ .
$a^2+b^2+ab=63$ va $a^2+b^2=45$ dan $ab=18$ , keyin $(a+b)^2=45+36=81$ , ya'ni $|a+b|=9$ .

Kvadrat tenglama ildizlari uchun Viyet teoremasi xuddi shu yo'lni beradi. $ax^2+bx+c=0$ da, agar $a\ne 0$ va $D\ge 0$ bo'lsa:

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2

|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}

$x^2+px+12=0$ da $|x_1-x_2|=1$ bo'lsin. $p^2-48=1$ , ya'ni $p=\pm 7$ . Ikkala qiymat ham mos: $p=-7$ da ildizlar $3$ va $4$ , $p=7$ da $-3$ va $-4$ .

Koeffitsiyentda modul bo'lsa, ishorani u hal qiladi: $x^2+|a|x+10=0$ da $x_1+x_2=-|a|\le 0$ . Agar $x_1^2+x_2^2=29$ bo'lsa, $(x_1+x_2)^2=29+20=49$ va faqat $x_1+x_2=-7$ qoladi.

Ishlangan misollar

1-misol

Hisoblang: $|2\sqrt{5}-4|+|2\sqrt{5}-5|$

$2\sqrt{5}=\sqrt{20},\quad 16<20<25$
Ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritib, qo'shni kvadratlar bilan solishtiramiz.
$4<2\sqrt{5}<5$
Demak birinchi modul ichi musbat, ikkinchisi manfiy.
$(2\sqrt{5}-4)+(5-2\sqrt{5})$
Musbati o'zgarmaydi, manfiysi teskari ishora bilan ochiladi.
$5-4=1$
Ildizlar qisqaradi.

Javob: $1$

2-misol

Hisoblang: $\dfrac{|6-2|1-5|+|2-9||}{|3-|4-8||}$

$|1-5|=4,\quad |2-9|=7$
Suratdagi eng ichki modullardan boshlaymiz.
$|6-2\cdot 4+7|=|5|=5$
Modul oldidagi $2$ ko'paytuvchi, avval ko'paytiramiz.
$|4-8|=4$
Maxrajda ham eng ichki moduldan boshlaymiz.
$|3-4|=1$
Maxrajning tashqi moduli.
$\frac{5}{1}=5$
Surat maxrajga bo'linadi.

Javob: $5$

3-misol

$-3<a<2$ bo'lsa, soddalashtiring:

\sqrt{(a+2)^2-8a}

+\sqrt{(a-3)^2+12a}

$(a+2)^2-8a=a^2-4a+4$
Birinchi ildiz ostida qavsni ochamiz: $4a-8a=-4a$ .
$a^2-4a+4=(a-2)^2$
Yig'indi kvadrati ayirma kvadratiga aylandi.
$(a-3)^2+12a=a^2+6a+9$
Ikkinchi ildiz ostida ham qavsni ochamiz: $-6a+12a=6a$ .
$a^2+6a+9=(a+3)^2$
Bu safar aksincha, ayirma kvadrati yig'indi kvadratiga aylandi.
$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$
Kvadratdan ildiz modul beradi.
$\sqrt{(a+3)^2}=|a+3|$
Ikkinchi ildiz ham shunday.
$(2-a)+(a+3)=5$
Modullarni ochib qo'shamiz. Shartga ko'ra $a<2$ , shuning uchun $a-2<0$ . $a>-3$ , shuning uchun $a+3>0$ .

Javob: $5$

4-misol

$x^2-3xy+y^2=-5$ va $xy=6$ bo'lsa, $|x+y|+|x-y|$ ni toping.

$x^2+y^2=-5+3\cdot 6=13$
Berilgan ko'paytmani qo'yib, kvadratlar yig'indisini ajratamiz.
$(x+y)^2=13+12=25$
$2xy=12$ ni qo'shamiz.
$(x-y)^2=13-12=1$
$2xy=12$ ni ayiramiz.
$|x+y|=5,\quad |x-y|=1$
Kvadratdan ildiz modulni beradi, $x$ va $y$ ning o'zi kerak emas.
$5+1=6$
Tekshiruv: $x=3,\ y=2$ shartlarni qanoatlantiradi.

Javob: $6$

5-misol

$a$ ning qanday qiymatlarida ushbu tenglama ikkita har xil manfiy ildizga ega?

x^2-(|a+3|-|a-3|)x

+a^2-16=0

$x_1x_2=a^2-16>0$
Ikkala ildiz manfiy bo'lishi uchun ko'paytma musbat bo'lishi kerak.
$x_1+x_2=|a+3|-|a-3|<0$
Yig'indi esa manfiy bo'lishi kerak.
$|a+3|<|a-3|\ \Rightarrow\ a<0$
$a$ nuqta $-3$ ga $3$ dan ko'ra yaqin. Bu $-3$ va $3$ ning o'rtasi bo'lgan noldan chapda degani.
$a^2>16,\quad a<0\ \Rightarrow\ a<-4$
Ikki shartni birlashtiramiz.
$(-a-3)-(3-a)=-6$
$a<-4$ da ikkala modul ichi manfiy, $|a+3|-|a-3|$ shunday ochiladi. $a$ lar qisqaradi.
$x^2+6x+a^2-16=0$
Tenglama aniq ko'rinishga keldi, endi ildizlar har xil bo'lishini tekshiramiz.
$D=36-4(a^2-16)=100-4a^2$
Diskriminantni hisoblaymiz.
$100-4a^2>0\ \Rightarrow\ a^2<25$
Ildizlar har xil bo'lishi uchun $D>0$ kerak.
$-5<a<-4$
$a^2<25$ dan $-5<a<5$ . Bu shart $a<-4$ bilan birga oraliqni beradi.

Javob: $-5<a<-4$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$\sqrt{x^2}=x$	$\sqrt{x^2}=\|x\|$
$\|x-5\|=x+5$	$x\ge 5$ da $x-5$ , $x<5$ da $5-x$
$\|a+b\|=\|a\|+\|b\|$	Faqat $ab\ge 0$ da. $\|3+(-5)\|=2$
$\|\sqrt{3}-2\|=\sqrt{3}-2$	$\sqrt{3}<2$ , demak $2-\sqrt{3}$
$\sqrt[3]{(-4)^3}=4$	Toq darajada ishora saqlanadi: $-4$
$\|x^2+2x+5\|$ ning eng kichigi $0$	Ildizi yo'q, eng kichigi $4$
$\dfrac{\|x-2\|}{x-2}$ ning qiymatlari $[-1;\,1]$	Faqat ikki son: $\{-1;\,1\}$

Eslab qoling

$a\ge 0$ da $|a|=a$ , $a<0$ da $|a|=-a$ . Modul doim $\ge 0$ .
$\sqrt{a^2}=|a|$ , $\sqrt[3]{a^3}=a$ .
$|ab|=|a||b|$ , $|a|^2=a^2$ , $|a-b|=|b-a|$ . Yig'indi uchun esa $|a+b|\le|a|+|b|$ .
$\dfrac{|a|}{a}=\pm 1$ , $a\ne 0$ .
$|x-a|+|x-b|\ge|a-b|$ .
Manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, har biri nol.
$|x-y|=\sqrt{(x+y)^2-4xy}$ .

Xossa	Sharti	Misol
Xossa $\|a\|\ge 0$	Shartihar qanday $a$	Misol $\|-4\|=4\ge 0$
Xossa $\|a\|=0\iff a=0$	Shartifaqat nolning moduli nol	Misol $\|x-2\|=0$ dan $x=2$
Xossa $\|-a\|=\|a\|$ , $\|a-b\|=\|b-a\|$	Shartihar qanday $a,\ b$	Misol $\|2-9\|=\|9-2\|=7$
Xossa $\|ab\|=\|a\|\cdot\|b\|$	Shartihar qanday $a,\ b$	Misol $\|(-2)\cdot 5\|=2\cdot 5=10$
Xossa $\left\|\dfrac{a}{b}\right\|=\dfrac{\|a\|}{\|b\|}$	Sharti $b\ne 0$	Misol $\left\|\dfrac{-6}{3}\right\|=\dfrac{6}{3}=2$
Xossa $\|a\|^2=a^2$	Shartihar qanday $a$	Misol $\|-3\|^2=(-3)^2=9$
Xossa $a\le\|a\|$ , $-a\le\|a\|$	Shartihar qanday $a$	Misol $-3\le\|-3\|$
Xossa $\|a+b\|\le\|a\|+\|b\|$	Shartitenglik $ab\ge 0$ da	Misol $\|3+(-5)\|=2$ , $\|3\|+\|-5\|=8$