Modulli tenglamalar: matematika darsi

$|x-3|=2$ tenglama ikkita ildizga ega: $5$ va $1$ . $|x-3|=0$ da bitta, $|x-3|=-2$ da birorta ham ildiz yo'q. Modulli tenglamada eng ko'p xato ildizni yo'qotish yoki chet ildizni qoldirishdan chiqadi. Bu darsda tenglamaning har bir turi uchun aniq yo'l bor.

Eng sodda tenglama: |f(x)| = a

O'ng tomon	Tenglama	Misol
O'ng tomon $a<0$	TenglamaIldiz yo'q, modul manfiy bo'lmaydi	Misol $\|x-1\|=-3$
O'ng tomon $a=0$	Tenglama $f(x)=0$	Misol $\|x+4\|=0$ dan $x=-4$
O'ng tomon $a>0$	Tenglama $f(x)=a$ yoki $f(x)=-a$	Misol $\|2x-7\|=3$ dan $x=5$ yoki $x=2$

$a>0$ da $|x-c|=a$ ning ildizlari $c-a$ va $c+a$ . Ular $c$ ga nisbatan simmetrik, shuning uchun ularning yig'indisi $2c$ . Masalan, $|x-4|=7$ uchun $11+(-3)=8=2\cdot 4$ .

Modul ichi kvadrat uchhad bo'lsa, ikkita kvadrat tenglama chiqadi. Ildizlar yig'indisi so'ralganda ikkinchi tenglamaning ildizi borligini tekshirish shart.

Masalan, $|x^2-2x|=3$ tenglamani olaylik. Birinchi holat:

x^2-2x-3=0

x=3,\ x=-1

Ikkinchi holat:

x^2-2x+3=0

D=4-12<0

, ildiz yo'q. Ildizlar yig'indisi

2

Ichida kub bo'lsa ham yo'l shu. $|(x-1)^3-14|=13$ dan $(x-1)^3=27$ yoki $(x-1)^3=1$ , ya'ni $x=4$ yoki $x=2$ . Kub ildiz yagona qiymat beradi.

Ko'paytma bo'lsa, $|a|\cdot|b|=|ab|$ xossasidan foydalanamiz: $|x-1|\cdot|x+4|=6$ tenglama $|x^2+3x-4|=6$ ga aylanadi. Undan:

$x^2+3x-10=0$ , ya'ni $x=2$ yoki $x=-5$ .
$x^2+3x+2=0$ , ya'ni $x=-1$ yoki $x=-2$ .

Jami $4$ ta ildiz.

O'ng tomonda noma'lum: |f(x)| = g(x)

Avval $g(x)\ge 0$ shartni yozamiz, keyin $f(x)=g(x)$ yoki $f(x)=-g(x)$ ni yechamiz. Shartga mos kelmagan son chet ildiz bo'lib, tashlab yuboriladi.

|f(x)|=g(x)\iff g(x)\ge 0

f(x)=\pm g(x)

Ikkala shart birga bajarilishi kerak. Modul manfiy bo'lmagani uchun o'ng tomon ham manfiy bo'la olmaydi

Xuddi shu tenglamani ikkinchi yo'l bilan ham yechish mumkin: $f(x)\ge 0$ da $f(x)=g(x)$ , $f(x)<0$ da $-f(x)=g(x)$ . Ichi chiziqli bo'lsa, shu yo'l qulayroq: bunda chet ildiz ichining ishorasi bo'yicha tekshiriladi.

Ikki maxsus holatda hech narsa yechish shart emas, chunki yechim butun oraliq bo'ladi:

|f|=f\iff f\ge 0

|f|=-f\iff f\le 0

$|x-3|=x-3$ dan $x\ge 3$ .
$|2x-1|=1-2x$ dan $x\le\dfrac{1}{2}$ .

Ikki tomonda modul: |f(x)| = |g(x)|

|f|=|g|\iff f=\pm g

Ya'ni

f=g

yoki

f=-g

. Bu yerda

g\ge 0

sharti kerak emas. Takrorlangan ildiz bir marta sanaladi

$|x^2-16|=|x-4|$ uchun:

Birinchi holat: $x^2-x-12=0$ , ya'ni $x=4$ yoki $x=-3$ .
Ikkinchi holat: $x^2+x-20=0$ , ya'ni $x=4$ yoki $x=-5$ .

$x=4$ ikkala holatda takrorlandi. Ildizlar: $-5,\ -3,\ 4$ .

Geometrik ma'nosi: $|x-1|=|x+5|$ tenglama $x$ nuqta $1$ dan va $-5$ dan bir xil uzoqlikda degani. Bunday nuqta bitta, kesmaning o'rtasi: $x=-2$ .

Bir nechta modul: oraliqlar usuli

Har bir modul ichining nolini topamiz va son o'qiga qo'yamiz.
Har bir oraliqda ishoralarni aniqlab, modullarni ochamiz.
Oraliq ichidagi tenglamani yechamiz.
Topilgan son o'sha oraliqqa tegishli bo'lsa, ildiz. Aks holda u tashlanadi.

$|x-1|+|x+4|=9$ uchun nollar $-4$ va $1$ :

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish