Modulli tengsizliklar: matematika darsi

$|x-3|<5$ tengsizlikning yechimi bitta oraliq $(-2;\,8)$ , $|x-3|>5$ niki esa ikkita nur. Belgi bir marta adashtirilsa, javob butunlay boshqacha chiqadi. Bu darsda har bir tengsizlik turi, ichida kvadrat uchhad, kasr, ildiz yoki logarifm kelgan holatlar ham ko'rib chiqiladi.

Asosiy ikki qoida

$|x-c|$ son o'qida $x$ dan $c$ gacha masofa. $|x-3|<5$ degani $3$ dan $5$ birlikdan yaqin nuqtalar. Ular $3-5=-2$ va $3+5=8$ orasida. $|x-3|>5$ esa undan uzoqdagi nuqtalar.

Tengsizlik ( $a>0$ )	Teng kuchlisi	Misol
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|<a$	Teng kuchlisi $-a<f<a$	Misol $\|x-1\|<4$ : $-3<x<5$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|\le a$	Teng kuchlisi $-a\le f\le a$	Misol $\|x-1\|\le 4$ : $-3\le x\le 5$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|>a$	Teng kuchlisi $f<-a$ yoki $f>a$	Misol $\|x+2\|>3$ : $x<-5$ yoki $x>1$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|\ge a$	Teng kuchlisi $f\le -a$ yoki $f\ge a$	Misol $\|x+2\|\ge 3$ : $x\le -5$ yoki $x\ge 1$

Kichik belgi bitta qo'sh tengsizlik beradi, katta belgi ikki alohida tengsizlik beradi. $f$ chiziqli bo'lsa, birinchisining yechimi bir oraliq, ikkinchisiniki ikkita nur. $f$ kvadrat uchhad bo'lsa, yechim boshqacha bo'lishi mumkin.

O'ng tomon manfiy yoki nol bo'lsa

Tengsizlik	Yechim	Sababi
Tengsizlik $\|f\|<0$ , $\|f\|<-2$	YechimYechim yo'q	SababiModul manfiy bo'lmaydi
Tengsizlik $\|f\|\le 0$	YechimFaqat $f=0$	SababiModul nolga teng bo'lishi mumkin
Tengsizlik $\|f\|>0$	Yechim $f\ne 0$	SababiNol nuqta chiqariladi
Tengsizlik $\|f\|\ge 0$ , $\|f\|>-2$	Yechim $f$ aniqlangan hamma $x$	SababiHar doim to'g'ri

Butun yechimlarni sanash

$p$ dan $q$ gacha butun sonlar soni $q-p+1$ ta. Belgi qat'iy bo'lsa, chegara kirmaydi, $\le$ bo'lsa, kiradi. $|2x-3|\le 9$ dan $-3\le x\le 6$ , butun yechimlar $6-(-3)+1=10$ ta. $|x|<4$ da butun sonlar $-3$ dan $3$ gacha, nol ham kiradi, jami $7$ ta. Ularning yig'indisi $0$ .

Ichida kvadrat uchhad

Yo'l o'sha, faqat har bir qism kvadrat tengsizlik bo'ladi. Qo'sh tengsizlikda ikkala qism bajarilishi kerak (kesishma), ikki nurli holatda biri yetarli (birlashma).

Tengsizlik	Birinchi qism	Ikkinchi qism	Javob
Tengsizlik $\|x^2-2x\|<8$	Birinchi qism $x^2-2x-8<0$ : $-2<x<4$	Ikkinchi qism $x^2-2x+8>0$ : doim	Javob $(-2;\,4)$
Tengsizlik $\|x^2+x\|>6$	Birinchi qism $x^2+x-6>0$ : $x<-3$ yoki $x>2$	Ikkinchi qism $x^2+x+6<0$ : hech qachon	Javob $x<-3$ yoki $x>2$

O'ng tomonda noma'lum

|f|<g\iff -g<f<g

g\le 0

bo'lsa, o'z-o'zidan yechim yo'q

|f|>g

\iff f<-g\ \text{yoki}\ f>g

g<0

bo'lsa, o'z-o'zidan bajariladi. Har qanday

g

uchun to'g'ri

$|x-3|<2x$ : $x-3<2x$ dan $x>-3$ , $x-3>-2x$ dan $x>1$ . Ikkalasi birga: $x>1$ .
$|x^2-4|>3x$ : $x^2-3x-4>0$ dan $x<-1$ yoki $x>4$ , $x^2+3x-4<0$ dan $-4<x<1$ . Biri yetarli, javob: $x<1$ yoki $x>4$ .

Chap tomonda modul ichidagi ifoda ko'paytuvchi bo'lib kelsa, oraliqlarga bo'lamiz. $x^2-7x+10<|x-2|$ da chap tomonni ajratamiz:

x^2-7x+10=(x-2)(x-5)

$x>2$ da $x-2$ ga bo'lamiz, belgi saqlanadi: $x-5<1$ , $x<6$ .
$x<2$ da $(x-2)(x-5)<-(x-2)$ , manfiy songa bo'lganda belgi almashadi: $x-5>-1$ , $x>4$ , bu shartga zid.
$x=2$ da $0<0$ noto'g'ri.

Javob: $(2;\,6)$ .

Ikki tomonda modul: kvadratga oshirish

Ikkala tomon manfiy emas, shuning uchun kvadratga oshirish belgini saqlaydi va chet yechim qo'shmaydi. Kvadratlar ayirmasi qulay ko'paytma beradi:

|f|<|g|\iff f^2<g^2

\iff (f-g)(f+g)<0

$|x-1|<|x+3|$ uchun:

(x-1-x-3)

\cdot(x-1+x+3)<0

Ya'ni $-4(2x+2)<0$ , $x>-1$ . Geometrik ma'nosi: $x$ nuqta $1$ ga $-3$ dan ko'ra yaqin, ya'ni ularning o'rtasi $-1$ dan o'ngda.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish

Tengsizlik ( $a>0$ )	Teng kuchlisi	Misol
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|<a$	Teng kuchlisi $-a<f<a$	Misol $\|x-1\|<4$ : $-3<x<5$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|\le a$	Teng kuchlisi $-a\le f\le a$	Misol $\|x-1\|\le 4$ : $-3\le x\le 5$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|>a$	Teng kuchlisi $f<-a$ yoki $f>a$	Misol $\|x+2\|>3$ : $x<-5$ yoki $x>1$
Tengsizlik ( $a>0$ ) $\|f\|\ge a$	Teng kuchlisi $f\le -a$ yoki $f\ge a$	Misol $\|x+2\|\ge 3$ : $x\le -5$ yoki $x\ge 1$