Modulli tenglama va tengsizliklar sistemasi: matematika darsi

$|x|\le 4$ va $|x-3|>2$ shartlari birga qo'yilsa, ularning har birini yechish yetmaydi: faqat ikkalasiga mos sonlar qoladi. Ikki noma'lumli sistemada esa modul yechimlar sonini ko'paytiradi, masalan, $|x|+|y|=4$ va $x^2+y^2=10$ sistemasi $8$ ta yechimga ega. Bu darsda shunday sistemalarni yechish va yechimlarini sanash o'rganiladi.

Sistema va birlashma

Figurali qavs «va» degani: har bir shart bajarilishi kerak, natijalar kesishadi. To'rtburchak qavs yoki «yoki» so'zi birlashmani bildiradi.

Yozuv	Amal	Misol
Yozuv $\begin{cases}x>1\\x\le 5\end{cases}$	AmalKesishma	Misol $(1;\,5]$
Yozuv $x<-3$ yoki $x>1$	AmalBirlashma	Misol $(-\infty;\,-3)\cup(1;\,+\infty)$

Tengsizliklar sistemasini yechish tartibi: har birini alohida yechamiz, natijalarni son o'qiga qo'yamiz va hamma shart bajariladigan qismni olamiz.

Kesishma bir necha bo'lak bo'lishi mumkin:

$|x-2|>4$ dan $x<-2$ yoki $x>6$ .
$|x-1|<8$ dan $-7<x<9$ .

Umumiy qism $(-7;\,-2)\cup(6;\,9)$ . Butun sonlar har bo'lakda alohida sanaladi: $-6,\ -5,\ -4,\ -3$ va $7,\ 8$ , jami $4+2=6$ ta.

Modulsiz shart ham xuddi shunday qatnashadi:

$|3x-4|\le 5$ dan $-\dfrac{1}{3}\le x\le 3$ .
$8-0{,}5x>0$ dan $x<16$ .

Kesma nur ichida yotadi, javob: $\left[-\dfrac{1}{3};\,3\right]$ .

Qo'sh modulli tengsizlik

$a<|f|<b$ aslida ikki shartdan iborat sistema: $|f|>a$ va $|f|<b$ . Agar $0\le a<b$ bo'lsa, yechim $c$ markaz atrofida ikki bo'lak bo'ladi:

a<|x-c|<b

\iff c-b<x<c-a

\text{yoki}\ c+a<x<c+b

Markazga yaqin qism tushib qoladi

$1<|x-4|<3$ yechimi $(1;\,3)\cup(5;\,7)$ .

$2\le|x|\le 6$ da musbat butun yechimlar $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ , jami $5$ ta. Har biriga manfiy jufti mos keladi, shuning uchun jami $2\cdot 5=10$ ta.

Funksiyaning aniqlanish sohasi

Funksiya tarkibida bir nechta shart bo'lsa, soha ularning kesishmasidir. Ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lmaydi, maxrajdagi ildiz ostida esa musbat bo'ladi.

Funksiya	Shartlar	Soha
Funksiya $y=\sqrt{\|x\|-3}+\dfrac{1}{\sqrt{8-x}}$	Shartlar $\|x\|\ge 3$ , $x<8$	Soha $(-\infty;\,-3]\cup[3;\,8)$
Funksiya $y=\sqrt{5-\|x-2\|}+\dfrac{1}{\sqrt{7-2x}}$	Shartlar $-3\le x\le 7$ , $x<3{,}5$	Soha $[-3;\,3{,}5)$

Ko'rsatkichli va kasr shartlar

Asos birdan katta bo'lsa, daraja o'suvchi: $a^t\ge a^c\iff t\ge c$ . Asos $0$ va $1$ orasida bo'lsa, belgi almashadi. Kasr manfiy bo'lmasligi uchun surat va maxraj ishorasi bir xil bo'lishi yoki surat nolga teng bo'lishi kerak.

Sistemaning butun yechimlarini topish uchun birinchi tengsizlik sonlarni cheklasa, qolganlarini birma-bir tekshirish eng ishonchli yo'l. Ushbu sistemani qaraymiz:

x^2+(1-\sqrt{10})x-\sqrt{10}\le 0

\frac{3^{|x^2-2x-2|}-9}{x}\ge 0

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish