Irratsional tenglamalar: matematika darsi

$\sqrt{x+13}=x+1$ tenglamani kvadratga oshirsak, kvadrat tenglama hosil bo'ladi va uning ildizlari $3$ va $-4$ . Lekin $x=-4$ da chap tomon $3$ , o'ng tomon $-3$ : bu son tenglamaning ildizi emas. Bunday son chet ildiz deyiladi. Bu darsda aniqlanish sohasi, chet ildiz va imtihonda uchraydigan barcha usullar to'liq beriladi.

Irratsional tenglama nima

Noma'lum ildiz ostida turgan tenglama irratsional tenglama deyiladi.

Tenglama	Irratsionalmi	Sababi
Tenglama $\sqrt{x+7}=x+1$	Irratsionalmiha	Sababi $x$ kvadrat ildiz ostida
Tenglama $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2$	Irratsionalmiha	Sababi $x$ ikkita ildiz ostida
Tenglama $\sqrt[3]{2x-1}=-3$	Irratsionalmiha	Sababi $x$ kub ildiz ostida
Tenglama $\sqrt{2}\cdot x=3$	Irratsionalmiyo'q	Sababiildiz ostida faqat son, bu chiziqli tenglama

Aniqlanish sohasi

Juft darajali ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lmaydi: $\sqrt{f}$ va $\sqrt[4]{f}$ uchun $f\ge 0$ . Ildiz maxrajda tursa, $f>0$ , chunki maxraj nolga teng bo'lmaydi. Toq darajali ildiz uchun cheklov yo'q: $\sqrt[3]{f}$ har qanday $f$ da aniqlangan.

Ifoda	Aniqlanish sohasi	Izoh
Ifoda $\sqrt{x-2}$	Aniqlanish sohasi $x\ge 2$	Izohildiz osti manfiy emas
Ifoda $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$	Aniqlanish sohasi $x>2$	Izoh $x=2$ da maxraj nol
Ifoda $\sqrt[3]{x-2}$	Aniqlanish sohasibarcha $x$	Izohtoq darajali ildiz
Ifoda $\sqrt{x^2+1}$	Aniqlanish sohasibarcha $x$	Izohildiz osti doim musbat
Ifoda $\sqrt{x}+\sqrt{-x}$	Aniqlanish sohasifaqat $x=0$	Izoh $x\ge 0$ va $x\le 0$ birga
Ifoda $\sqrt{x-5}+\sqrt{3-x}$	Aniqlanish sohasibo'sh to'plam	Izoh $x\ge 5$ va $x\le 3$ birga bajarilmaydi

Aniqlanish sohasi bo'sh bo'lsa, tenglamaning ildizi yo'q va hisoblashning hojati qolmaydi: $\sqrt{x-5}+\sqrt{3-x}=1$ ning ildizi yo'q. Sohaga tushish esa yetarli emas: $x=-4$ soni $\sqrt{x+13}=x+1$ tenglamaning aniqlanish sohasida yotadi, ammo ildiz emas.

Chet ildiz qayerdan chiqadi

$a=b$ bo'lsa, $a^2=b^2$ bo'ladi. Teskarisi to'g'ri emas: $a^2=b^2$ dan $a=b$ yoki $a=-b$ kelib chiqadi. Shuning uchun $f=g^2$ tenglama $\sqrt{f}=g$ ning ham, $\sqrt{f}=-g$ ning ham ildizlarini beradi. Faqat ikkinchisiga tegishli son chet ildiz deyiladi.

Misol

Tenglamani yeching: $\sqrt{x+13}=x+1$

$x+13=x^2+2x+1$
Ikkala tomonni kvadratga oshiramiz. O'ngda yig'indining kvadrati, $x^2+1$ emas.
$x^2+x-12=0,\quad x=3;\ x=-4$
Viyet teoremasi: yig'indi $-1$ , ko'paytma $-12$ .
$x=3:\quad \sqrt{16}=4,\quad 3+1=4$
Ikkala tomon teng, $3$ ildiz.
$x=-4:\quad 3\ne -3$
Chap tomon $\sqrt{9}=3$ , o'ng tomon $-4+1=-3$ . Bu son $\sqrt{f}=-g$ ni qanoatlantiradi, ya'ni chet ildiz.

Javob: $x=3$

Asosiy usul: ildiz ifodaga teng

\sqrt{f}=g\iff\begin{cases}g\ge 0\\f=g^2\end{cases}

Arifmetik ildiz manfiy bo'lmaydi, shuning uchun o'ng tomon ham manfiy bo'lmasligi kerak

Bu yerda $f\ge 0$ ni alohida yozish shart emas: $f=g^2$ bo'lsa, $f$ o'z-o'zidan manfiy emas. Tenglamada boshqa ildiz yoki maxraj bo'lsa, ularning sharti alohida yoziladi.

Chet ildizni ajratishning ikki yo'li bor: $g\ge 0$ shartni tekshirish yoki topilgan sonni dastlabki tenglamaga qo'yish. Ildizlar butun bo'lsa, ikkalasi ham oson. Ildizlar $2\pm\sqrt{11}$ kabi chiqsa, shartni tekshirish qulayroq.

O'ng tomon son bo'lganda shart darhol ko'rinadi:

Tenglama	Yechish	Misol
Tenglama $\sqrt{f}=a,\ a>0$	Yechish $f=a^2$	Misol $\sqrt{2x-3}=5$ , $2x-3=25$ , $x=14$
Tenglama $\sqrt{f}=0$	Yechish $f=0$	Misol $\sqrt{x^2-9}=0$ , $x=\pm 3$
Tenglama $\sqrt{f}=a,\ a<0$	Yechishildiz yo'q	Misol $\sqrt{x+4}=-2$ ning ildizi yo'q

Tenglamada bitta ildiz bo'lsa, kvadratga oshirishdan oldin uni tenglamaning bir tomonida yolg'iz qoldiramiz. Aks holda ildiz belgisi yo'qolmaydi.

$\sqrt{x^4+x^2+8x}-x=4$ tenglamada avval $\sqrt{x^4+x^2+8x}=x+4$ deb yozamiz, shart $x\ge -4$ . Kvadratga oshirsak, $x^4+x^2+8x=x^2+8x+16$ , ya'ni $x^4=16$ , $x=\pm 2$ . Ikkala son ham shartni qanoatlantiradi.

O'ng tomon doim musbat bo'lsa, shart o'z-o'zidan bajariladi va chet ildiz chiqmaydi. $\sqrt{4x^2+85}=x^2+2$ da $x^2+2>0$ . Kvadratga oshirsak, $4x^2+85=x^4+4x^2+4$ , $x^4=81$ , $x=\pm 3$ . Bu yerda $x^4=81$ dan $x^2=9$ olinadi, $x^2=-9$ esa haqiqiy ildiz bermaydi.

Ikki ildiz teng

\sqrt{f}=\sqrt{g}\iff\begin{cases}f=g\\f\ge 0\end{cases}

f=g

bo'lgani uchun

f\ge 0

yoki

g\ge 0

dan soddarog'ini tekshirish yetarli

Misol

Tenglamani yeching: $\sqrt{x^2-x-6}=\sqrt{2x-6}$

$x^2-x-6=2x-6$
Ildiz ostidagi ifodalarni tenglaymiz.
$x(x-3)=0,\quad x=0;\ x=3$
Hadlarni chapga o'tkazamiz: $x^2-3x=0$ .
$x=0:\quad 2x-6=-6<0$
Ikkala ildiz osti $-6$ ga teng, lekin manfiy, ildiz mavjud emas. $x=0$ chet ildiz.
$x=3:\quad 2x-6=0$
Ildiz osti nol, ruxsat etilgan: $0=0$ .

Javob: $x=3$

Ko'paytma nolga teng

$f\cdot\sqrt{g}=0$ tenglama ikki holda bajariladi:

g=0\ \text{yoki}\ \begin{cases}f=0\\g\ge 0\end{cases}

g=0

bo'lganda

f

shu nuqtada aniqlangan bo'lishi kerak

Ikki xato bor: $g=0$ dan chiqadigan ildizni unutish va $f=0$ ning ildiziga $g\ge 0$ ni tekshirmaslik. Ildiz maxrajda bo'lsa, $g=0$ ildiz bermaydi.

Tenglama	Aniqlanish sohasi	Ildizlar	Izoh
Tenglama $(x^2-16)\sqrt{x-1}=0$	Aniqlanish sohasi $x\ge 1$	Ildizlar $1;\ 4$	Izoh $x=-4$ chet, $x=1$ ildiz ostidan
Tenglama $\dfrac{x^2-16}{\sqrt{x-1}}=0$	Aniqlanish sohasi $x>1$	Ildizlar $4$	Izoh $x=1$ da maxraj nol
Tenglama $(x-3)\sqrt{x-5}=0$	Aniqlanish sohasi $x\ge 5$	Ildizlar $5$	Izoh $x=3$ sohadan tashqarida

Yig'indi ko'rinishidagi tenglamada umumiy ko'paytuvchini ajratish ham shu holga olib keladi. Ildizli ifodaga bo'lib yuborish mumkin emas: bo'luvchini nolga aylantiradigan son javobdan tushib qoladi.

Ildizlarni birlashtirish va ajratish

Quyidagi tengliklar faqat ko'rsatilgan shartda to'g'ri. Shart hisobga olinmasa, tenglamaning ildizlari yo'qoladi yoki ortiqcha ildiz paydo bo'ladi.

Tenglik	Sharti	Izoh
Tenglik $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$	Sharti $a\ge 0,\ b\ge 0$	Izoh $a,b\le 0$ da $\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$
Tenglik $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	Sharti $a\ge 0,\ b>0$	Izoh $a\le 0,\ b<0$ da $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$
Tenglik $\sqrt{a^2}=\|a\|$	Shartihar qanday $a$	Izoh $\sqrt{a^2}=a$ faqat $a\ge 0$ da

Masalan, $\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}$ ifoda $x\le -1$ yoki $x>2$ da aniqlangan, $\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$ esa faqat $x>2$ da. Birini ikkinchisi bilan almashtirsak, $x\le -1$ dagi ildizlar yo'qoladi.

Misol

Tenglamaning ildizlari yig'indisini toping: $\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+7}}=\dfrac{5-x}{x+7}$

$-7<x\le 5$
Surat ildizi sharti $5-x\ge 0$ , maxraj ildizi sharti $x+7>0$ .
$r=\dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+7}}\ge 0:\quad r=r^2$
O'ng tomon chap tomonning kvadrati.
$r=0\ \Rightarrow\ x=5$
$r(r-1)=0$ , birinchi hol. $r$ ga bo'lsak, $x=5$ yo'qolar edi.
$r=1\ \Rightarrow\ x=-1$
Ikkinchi hol: $5-x=x+7$ .
$5+(-1)=4$
Ikkala son ham sohada yotadi.

Javob: $4$

Ikki ildiz yig'indisi

$\sqrt{f}+\sqrt{g}=c$ ko'rinishida avval ikkala ildizning sharti yoziladi, keyin tenglama kvadratga oshiriladi:

(\sqrt{f}+\sqrt{g})^2=f+g+2\sqrt{fg}

O'rtadagi had unutilmaydi:

f+g

ning o'zi emas

Qolgan ildiz yolg'iz qoldiriladi va asosiy usul qo'llanadi. Ayirma bo'lsa, $\sqrt{f}-\sqrt{g}=c$ ni $\sqrt{f}=c+\sqrt{g}$ deb yozib olgan ma'qul. Agar $c\ge 0$ bo'lsa, ikkala tomon manfiy emas va bu kvadratga oshirish chet ildiz qo'shmaydi.

Misol

Tenglamani yeching: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5$

$x\ge -1$
Ikkala ildizning sharti: $x\ge -\dfrac{3}{2}$ va $x\ge -1$ . Kattasi qoladi.
$3x+4+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=25$
Kvadratga oshiramiz: $f+g=3x+4$ .
$2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x$
Ildizni yolg'iz qoldiramiz.
$21-3x\ge 0,\quad x\le 7$
O'ng tomon manfiy bo'lmasligi kerak.
$4(2x^2+5x+3)=(21-3x)^2$
Yana kvadratga oshiramiz.
$x^2-146x+429=0$
Qavslarni ochamiz: chapda $8x^2+20x+12$ , o'ngda $441-126x+9x^2$ . Hadlarni bir tomonga o'tkazamiz.
$x=3;\ x=143$
Viyet: $3+143=146$ , $3\cdot 143=429$ .
$x=143>7\ \text{— chet}$
$x\le 7$ sharti bajarilmaydi.
$x=3:\quad 3+2=5$
Tekshiruv: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=5$ . Faqat $x=3$ ikkala shartga mos keladi.

Javob: $x=3$

Ikki ildiz ostida bir xil ichki ildiz qarama-qarshi ishora bilan tursa, ko'paytmada ichki ildiz yo'qoladi. Masalan:

\sqrt{x-\sqrt{x+11}}

+\sqrt{x+\sqrt{x+11}}=4

Kvadratga oshirib, qolgan ildizni yolg'iz qoldiramiz:

2x+2\sqrt{x^2-x-11}=16

\sqrt{x^2-x-11}=8-x

x^2-x-11=64-16x+x^2

x=5

Tekshiruv: $\sqrt{5-4}+\sqrt{5+4}=1+3=4$ .

Ikki ildiz ayirmasi: qo'shma ifoda

$\sqrt{f}-\sqrt{g}=c$ da $f-g$ son bo'lsa, $x$ qisqaradi va kvadratga oshirish shart emas. $a=\sqrt{f}$ , $b=\sqrt{g}$ desak:

a-b=c

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

a^2-b^2=f-g

c\ne 0

bo'lsa,

a+b=\dfrac{f-g}{c}

. Yig'indi va ayirmadan

a

b

topiladi.

a,b\ge 0

bo'lishi shart

Misol

Tenglamani yeching: $\sqrt{x+10}-\sqrt{x-5}=3$

$a=\sqrt{x+10},\quad b=\sqrt{x-5}$
Ikki ildizni belgilaymiz, $a,b\ge 0$ . Tenglama: $a-b=3$ .
$a^2-b^2=(x+10)-(x-5)=15$
$x$ qisqaradi.
$3(a+b)=15,\quad a+b=5$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .
$2a=8,\quad a=4,\quad b=1$
$a+b=5$ va $a-b=3$ ni qo'shamiz.
$x+10=16,\quad x=6$
$\sqrt{x+10}=4$ . Tekshiruv: $\sqrt{16}-\sqrt{1}=3$ .

Javob: $x=6$

$b$ manfiy chiqsa, ildiz yo'q. $\sqrt{x+10}-\sqrt{x-5}=5$ da $a+b=3$ , $a-b=5$ , ya'ni $a=4$ , $b=-1$ . Lekin $b=\sqrt{x-5}\ge 0$ , shuning uchun bu tenglamaning ildizi yo'q.

Uch ildizli tenglama

$\sqrt{f}+\sqrt{g}=\sqrt{h}$ tenglamada ikkala tomon manfiy emas, shuning uchun aniqlanish sohasida kvadratga oshirish chet ildiz qo'shmaydi. Takrorlangan ifoda bo'lsa, avval uni belgilaymiz.

Misol

Tenglamaning ildizlari yig'indisini toping:

\sqrt{x^2+2x+16}+\sqrt{x^2+2x+1}

=\sqrt{2x^2+4x+25}

$t=x^2+2x$
$x^2+2x$ uch joyda takrorlanadi.
$\sqrt{t+16}+\sqrt{t+1}=\sqrt{2t+25}$
Tenglama shu ko'rinishga keladi: $2x^2+4x=2t$ .
$17+2\sqrt{(t+16)(t+1)}=25$
Kvadratga oshiramiz. Ikkala tomonda $2t$ bor, u qisqaradi.
$\sqrt{(t+16)(t+1)}=4$
Ildizni yolg'iz qoldiramiz.
$t^2+17t=0$
Kvadratga oshiramiz: $(t+16)(t+1)=16$ . Qavslarni ochsak, $t^2+17t+16=16$ .
$t=0;\ t=-17$
$t=-17$ da $t+16<0$ , ildiz mavjud emas. Bundan tashqari, $x^2+2x=-17$ ning diskriminanti manfiy.
$x^2+2x=0,\quad x=0;\ x=-2$
Tekshiruv: ikkala sonda ham $\sqrt{16}+\sqrt{1}=\sqrt{25}$ .
$0+(-2)=-2$
Ikki ildiz yig'indisi.

Javob: $-2$

Almashtirish: ildizni t deb olamiz

Ildiz ostidagi ifoda tenglamada yana qatnashsa, ildizni $t$ deb belgilaymiz. Kvadrat ildiz uchun $t\ge 0$ : manfiy $t$ tashlanadi. Javobni $x$ ga qaytarish unutilmaydi.

Tenglama	Almashtirish	Natija
Tenglama $x^2-4x+\sqrt{x^2-4x+9}=11$	Almashtirish $t=\sqrt{x^2-4x+9}$ , $x^2-4x=t^2-9$	Natija $t^2+t-20=0$ , $t=4$ , $t=-5$ tashlanadi
Tenglama $\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$	Almashtirish $t=\sqrt[4]{x}$ , $\sqrt{x}=t^2$	Natija $t=2;\ 3$ , $x=16;\ 81$
Tenglama $a^3+3\sqrt{a^3+1}-9=0$	Almashtirish $t=\sqrt{a^3+1}$ , $a^3=t^2-1$	Natija $t^2+3t-10=0$ , $t=2$ , $a^3=3$

Birinchi qatorda $t=4$ dan $x^2-4x+9=16$ , ya'ni $x^2-4x-7=0$ . Diskriminant musbat, ildizlar $2\pm\sqrt{11}$ , yig'indisi $4$ , ko'paytmasi $-7$ . Almashtirishda $t\ge 0$ hisobga olingani uchun ikkala ildiz ham to'g'ri. Uchinchi qatorda $a$ emas, ifoda so'ralishi mumkin: $\sqrt{a^3+6}=\sqrt{9}=3$ .

Ildizlar yig'indisi yoki ko'paytmasini Viyet teoremasi bilan topishdan oldin diskriminant musbatligiga va ikkala ildiz ham shartlarga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

Ifoda ildiz ostidagiga aynan teng bo'lmasa, koeffitsiyentni moslaymiz. $9x^2+6x+10$ ildiz ostida, tashqarida $3x^2+2x$ bo'lsa, $3x^2+2x=\dfrac{t^2-10}{3}$ deb yoziladi (4-misol).

O'zaro teskari ifodalarda bitta ildizni $t$ deb olamiz. Masalan:

\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}-\sqrt{1-\dfrac{2}{x}}=\dfrac{8}{3}

$t=\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}>0$ desak, ikkinchi ildiz $\dfrac{1}{t}$ ga teng:

\sqrt{1-\dfrac{2}{x}}=\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}

\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{1}{t}

Tenglamadan kvadrat tenglama chiqadi, manfiy ildiz $t=-\dfrac{1}{3}$ tashlanadi:

3t^2-8t-3=0

t=3

\dfrac{x}{x-2}=9

x=\dfrac{9}{4}

Ildiz ostidagi kasrni bo'lib chiqsak, takrorlangan ifoda ko'rinadi. Masalan:

\sqrt{\dfrac{x^2+13x+20}{x}}

+\sqrt{\dfrac{13x-x^2-20}{x}}=6

$y=x+\dfrac{20}{x}$ desak, tenglama soddalashadi. Uni kvadratga oshiramiz:

\sqrt{13+y}+\sqrt{13-y}=6

26+2\sqrt{169-y^2}=36

\sqrt{169-y^2}=5

y=\pm 12

Har bir $y$ dan ikkitadan $x$ chiqadi:

x+\dfrac{20}{x}=12:\quad x=2;\ 10

x+\dfrac{20}{x}=-12:\quad x=-2;\ -10

Ildizlar yig'indisi $0$ . Bu yerda $y$ ildiz emas, shuning uchun manfiy ham bo'la oladi. Uning sharti ildiz ostidan keladi: $-13\le y\le 13$ , va $y=\pm 12$ bu shartga mos.

Tenglamada $\sqrt{f}+\sqrt{g}$ va $\sqrt{fg}$ birga tursa, $t=\sqrt{f}+\sqrt{g}$ deb olamiz: $t^2=f+g+2\sqrt{fg}$ bo'lgani uchun $\sqrt{fg}$ ham $t$ orqali ifodalanadi (5-misol).

Ildiz ichida ildiz

Tashqi ildizdan boshlab bosqichma-bosqich kvadratga oshiramiz va har bosqichda shartni yozamiz.

Misol

Tenglamaning ildizlari yig'indisini toping: $\sqrt{\sqrt{11x^2+1}-2x}=1-x$

$1-x\ge 0\quad \Rightarrow\quad x\le 1$
Tashqi ildiz manfiy bo'lmaydi.
$\sqrt{11x^2+1}-2x=1-2x+x^2$
Kvadratga oshiramiz.
$\sqrt{11x^2+1}=x^2+1$
$-2x$ qisqaradi. O'ng tomon doim musbat, yangi shart kerak emas.
$11x^2+1=x^4+2x^2+1$
Yana kvadratga oshiramiz.
$x^2(x^2-9)=0$
Hadlarni bir tomonga o'tkazamiz: $x^4-9x^2=0$ .
$x=3>1\ \text{— chet}$
Sonlar: $0$ va $\pm 3$ . $x=3$ da chap tomon $2$ , o'ng tomon $-2$ .
$x=0;\ x=-3$
Bu ikki son $x\le 1$ shartga mos.
$0+(-3)=-3$
Tekshiruv: $x=-3$ da $\sqrt{10+6}=4=1+3$ ; $x=0$ da $\sqrt{1}=1$ .

Javob: $-3$

Ichki ildiz ostida to'liq kvadrat yashiringan bo'lishi mumkin. Unda ichki ildizni $t$ deb olamiz va $\sqrt{a^2}=|a|$ formulasiga o'tamiz.

Misol

Tenglamani yeching:

\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}

+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=7

$t=\sqrt{x-1}\ge 0,\quad x=t^2+1$
Ikkala katta ildizda bir xil ichki ildiz bor.
$x+3+4t=(t+2)^2$
Birinchi ildiz ostiga $x=t^2+1$ qo'yamiz: $t^2+4t+4$ .
$x+8-6t=(t-3)^2$
Ikkinchi ildiz ostiga ham qo'yamiz: $t^2-6t+9$ .
$|t+2|+|t-3|=7$
$\sqrt{a^2}=|a|$ formulasi.
$t+2+|t-3|=7$
$t\ge 0$ da $t+2>0$ . Ikkinchi modul ikki holatda ochiladi.
$0\le t<3:\quad 5\ne 7$
Bu oraliqda chap tomon doim $5$ : $t+2+3-t=5$ .
$t\ge 3:\quad 2t-1=7,\quad t=4$
$4\ge 3$ , holatga mos.
$x=t^2+1=17$
Tekshiruv: $\sqrt{36}+\sqrt{1}=6+1=7$ .

Javob: $x=17$

Shu tenglamada o'ng tomon $5$ bo'lsa, $0\le t\le 3$ dagi har bir $t$ yechim bo'ladi, ya'ni $1\le x\le 10$ kesmaning hamma sonlari ildiz. Modulli tenglamada cheksiz ko'p ildiz bo'lishi mumkin.

Ildiz va modul

Ildiz ostida to'liq kvadrat yig'ilsa, modul paydo bo'ladi. Boshqa ildizning sharti modul ishorasini aniqlab berishi mumkin. Masalan:

\sqrt{(3x+1)^2-12x}-6

=\sqrt{1-3x}

Bu yerda $(3x+1)^2-12x=(3x-1)^2$ , shart $1-3x\ge 0$ , shuning uchun $|3x-1|=1-3x$ . $u=\sqrt{1-3x}\ge 0$ desak, $u^2-u-6=0$ , $u=3$ , $x=-\dfrac{8}{3}$ .

Tenglamada modul ochiq turgan bo'lsa, ikki holat alohida ko'riladi va har bir ildiz o'z holatiga tekshiriladi.

Misol

Tenglamani yeching: $|x-4|+1=\sqrt{3x-5}$

$3x-5\ge 0\quad \Rightarrow\quad x\ge\dfrac{5}{3}$
Ildiz sharti. Chap tomon doim musbat, kvadratga oshirish chet ildiz qo'shmaydi.
$x\ge 4:\quad (x-3)^2=3x-5$
Modul $x-4$ ga teng, chap tomon $x-3$ .
$x^2-9x+14=0$
Qavsni ochib, hadlarni chapga o'tkazamiz.
$x=7$
Ildizlar $2$ va $7$ . Holat sharti $x\ge 4$ , shuning uchun $x=2$ tushmaydi.
$x<4:\quad (5-x)^2=3x-5$
Modul $4-x$ ga teng, chap tomon $5-x$ .
$x^2-13x+30=0$
Qavsni ochib, hadlarni chapga o'tkazamiz.
$x=3$
Ildizlar $3$ va $10$ . Holat sharti $x<4$ , shuning uchun $x=10$ tushmaydi.
$x=3:\quad 1+1=\sqrt{4}$
Tekshiruv: to'g'ri.
$x=7:\quad 3+1=\sqrt{16}$
Tekshiruv: to'g'ri.

Javob: $3;\ 7$

Kub ildiz

\sqrt[3]{f}=g\iff f=g^3

Kubga oshirish chet ildiz qo'shmaydi va

g

ga shart qo'yilmaydi: toq daraja ishorani saqlaydi

$\sqrt[3]{2x-1}=-3$ dan $2x-1=-27$ , $x=-13$ . Manfiy o'ng tomon bu yerda to'g'ri ildiz beradi, kvadrat ildizda esa ildiz bermas edi.

Ikki kub ildiz yig'indisida $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ formulasi ishlatiladi va $a+b$ o'rniga uning qiymati qo'yiladi. Bunday qo'yish natijasida chet ildiz chiqishi mumkin, shuning uchun topilgan son tekshiriladi.

Misol

Tenglamani yeching: $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{9-x}=3$

$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{9-x}$
Yig'indi ma'lum: $a+b=3$ .
$a^3+b^3+3ab(a+b)=27$
$(a+b)^3=3^3$ ni ochamiz.
$9+9ab=27$
$a^3+b^3=x+9-x=9$ va $a+b=3$ .
$ab=2,\quad x(9-x)=8$
$a^3b^3=(ab)^3=8$ .
$x^2-9x+8=0,\quad x=1;\ x=8$
Viyet.
$x=1:\quad 1+2=3$
Tekshiruv: ildiz.
$x=8:\quad 2+1=3$
Tekshiruv: bu ham ildiz.

Javob: $1;\ 8$

Cheksiz davom etadigan ildizda ichki qism butun ifodaning o'zi bilan bir xil, shuning uchun uning qiymatini qo'yamiz. $\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\ldots}}}=4$ da ichki qism ham $4$ : $\sqrt[3]{x+4}=4$ , $x+4=64$ , $x=60$ . Xuddi shunday, $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}=6$ da $\sqrt{x+6}=6$ , $x=30$ .

$\sqrt[4]{f}=g$ da shart va daraja o'zgaradi: $g\ge 0$ va $f=g^4$ . Juft darajali har qanday ildiz kvadrat ildiz kabi ishlaydi, toq darajali har qanday ildiz kub ildiz kabi.

Kvadratga oshirmasdan: baholash

Holat	Usul	Misol
Holat $\sqrt{f}+\sqrt{g}=0$	Usulikkala ildiz ham nol: $f=0$ va $g=0$	Misol $\sqrt{x^2-9}+\sqrt{x+3}=0$ , $x=-3$
Holat $\sqrt{f}+\sqrt{g}=c,\ c<0$	Usulildiz yo'q	Misol $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=-1$
Holathar bir ildizning eng kichik qiymati ma'lum	Usuleng kichik qiymatlar yig'indisi bilan solishtirish	Misol $\sqrt{x^2+9}+\sqrt{x^2+16}=7$ : $3+4=7$ , faqat $x=0$
Holatchap tomon o'suvchi, o'ng tomon son	Usulildiz ko'pi bilan bitta, uni tanlab topamiz	Misol $\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=5$ : $x=4$ , boshqa ildiz yo'q

Darajasi yuqori tenglamada butun ildizlar so'ralsa, kvadratga oshirish o'rniga butun sonlarni baholaymiz. $x^4-\sqrt{|x|-20}=160000$ da $160000=20^4$ , soha $|x|\ge 20$ . $x=\pm 20$ da $20^4-0=20^4$ , demak ikkalasi ildiz. Butun son $|x|\ge 21$ bo'lsa, $k=|x|-20\ge 1$ deb olamiz:

M=(|x|+20)(x^2+400)>1

x^4-20^4=kM

kM>k\ge\sqrt{k}

Demak, $x^4-20^4>\sqrt{k}$ , ya'ni tenglik bajarilmaydi. Javob: ikkita butun ildiz. Savol butun ildizlar haqida ekanini e'tiborga oling: moduli $20$ ga juda yaqin butun bo'lmagan ildizlar ham mavjud.

Ishlangan misollar

1-misol

Tenglamani yeching: $\sqrt{x^2+5x+1}=2x-1$

$2x-1\ge 0\quad \Rightarrow\quad x\ge\dfrac{1}{2}$
O'ng tomon manfiy bo'lmasligi kerak.
$x^2+5x+1=4x^2-4x+1$
Ikkala tomonni kvadratga oshiramiz.
$3x^2-9x=0,\quad 3x(x-3)=0$
Hammasini bir tomonga o'tkazamiz. Ozod had qisqaradi.
$x=0<\dfrac{1}{2}\ \text{— chet},\quad x=3$
Shart bilan solishtiramiz.
$\sqrt{9+15+1}=\sqrt{25}=5$
Tekshiruv: $x=3$ da $2x-1=5$ .

Javob: $x=3$

2-misol

Tenglamaning ildizlari ko'paytmasini toping:

\sqrt{x^3-3x^2-7x+13}=3-x

$3-x\ge 0\quad \Rightarrow\quad x\le 3$
O'ng tomonning sharti.
$x^3-3x^2-7x+13=x^2-6x+9$
Kvadratga oshiramiz.
$x^3-4x^2-x+4=0$
Hammasini chapga o'tkazamiz.
$x^2(x-4)-(x-4)=0$
Guruhlaymiz.
$(x-4)(x^2-1)=0$
Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaramiz.
$x=4>3\ \text{— chet},\quad x=\pm 1$
$x=4$ da chap tomon $1$ , o'ng tomon $-1$ .
$1\cdot(-1)=-1$
Tekshiruv: $x=1$ da $\sqrt{4}=2$ ; $x=-1$ da $\sqrt{16}=4$ .

Javob: $-1$

3-misol

Tenglamaning haqiqiy ildizlari yig'indisini toping:

(x-1)\sqrt{x^2-4x-5}

+4-4x=0

$4-4x=-4(x-1)$
Ozod qismda ham $x-1$ yashiringan.
$(x-1)\left(\sqrt{x^2-4x-5}-4\right)=0$
Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaramiz. $x-1$ ga bo'lib yubormaymiz.
$x=1:\quad 1-4-5=-8<0$
Birinchi qavs $x=1$ da nol, lekin ildiz osti manfiy. $x=1$ sohaga kirmaydi, chet ildiz.
$\sqrt{x^2-4x-5}=4$
Ikkinchi qavs nol. O'ng tomon musbat son, shart bajarilgan.
$x^2-4x-21=0$
Kvadratga oshiramiz.
$x=7;\ x=-3,\quad 7+(-3)=4$
Tekshiruv: $x=7$ da $6\cdot 4+4-28=0$ ; $x=-3$ da $-4\cdot 4+4+12=0$ .

Javob: $4$

4-misol

Tenglamani yeching:

3x^2+2x

+2\sqrt{9x^2+6x+10}=15

$t=\sqrt{9x^2+6x+10}\ge 0$
Tashqi ifoda ildiz ostidagining bir qismi.
$9x^2+6x=t^2-10$
Kvadratga oshirib, $10$ ni o'tkazamiz.
$3x^2+2x=\dfrac{t^2-10}{3}$
Koeffitsiyentlarni $3$ ga bo'lib moslaymiz.
$\dfrac{t^2-10}{3}+2t=15$
Tenglamaga qo'yamiz.
$t^2+6t-55=0$
$3$ ga ko'paytiramiz.
$(t-5)(t+11)=0,\quad t=5$
$t=-11$ manfiy, tashlanadi.
$9x^2+6x+10=25$
$x$ ga qaytamiz: $t^2=25$ .
$3x^2+2x-5=0$
$25$ ni chapga o'tkazib, $3$ ga qisqartiramiz.
$(3x+5)(x-1)=0$
Ko'paytuvchilarga ajratamiz.
$x=1;\ x=-\dfrac{5}{3}$
Tekshiruv: ikkala sonda ham $3x^2+2x=5$ , ildiz $5$ , $5+10=15$ .

Javob: $1;\ -\dfrac{5}{3}$

5-misol

Tenglamani yeching:

5\sqrt{x+2}+5\sqrt{x+7}

-2\sqrt{(x+2)(x+7)}

=2x+15

$x+2\ge 0,\ \ x+7\ge 0:\quad x\ge -2$
Ikkala ildizning sharti.
$t=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}$
Yig'indi va ko'paytma ildizi birga turibdi.
$P=\sqrt{(x+2)(x+7)}$
Ko'paytma ildizini qisqa belgilaymiz.
$t^2=2x+9+2P$
Kvadratga oshiramiz: $f+g+2\sqrt{fg}$ .
$2P=t^2-2x-9$
Ko'paytma ildizini $t$ orqali yozamiz.
$5t-t^2+2x+9=2x+15$
Tenglamaga qo'yamiz.
$t^2-5t+6=0$
$2x$ qisqaradi.
$t=2;\ t=3$
Ikkala son ham musbat, lekin hali $x\ge -2$ ga tekshirilmagan.
$\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}=\dfrac{5}{2}$
$t=2$ holat. Kvadratlar ayirmasi $5$ , uni yig'indi $2$ ga bo'lamiz.
$\sqrt{x+2}=-\dfrac{1}{4}$
Yig'indi $2$ va ayirma $\dfrac{5}{2}$ dan ildiz manfiy chiqadi: mumkin emas.
$\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}=\dfrac{5}{3}$
$t=3$ holat. Kvadratlar ayirmasi $5$ , uni yig'indi $3$ ga bo'lamiz.
$\sqrt{x+2}=\dfrac{2}{3}$
$\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{2}\left(3-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$ .
$x+2=\dfrac{4}{9},\quad x=-\dfrac{14}{9}$
Tekshiruv: ildizlar $\dfrac{2}{3}$ va $\dfrac{7}{3}$ . Ikkala tomon ham $15-\dfrac{28}{9}$ ga teng.

Javob: $x=-\dfrac{14}{9}$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$\sqrt{x+13}=x+1$ ning ildizlari $3$ va $-4$	$x=-4$ da $x+1<0$ , faqat $x=3$
$\sqrt{x-1}=-2$ dan $x-1=4$ , $x=5$	ildiz manfiy bo'lmaydi, tenglamaning ildizi yo'q
Faqat aniqlanish sohasini tekshirish	$\sqrt{f}=g$ da $g\ge 0$ ham tekshiriladi
$(x^2-16)\sqrt{x-1}=0$ ning ildizlari $\pm 4$	$x=-4$ sohada emas, $x=1$ ham ildiz: $1;\ 4$
$\sqrt{f}=\sqrt{g}$ da $f=g$ ning hamma ildizini olish	$f\ge 0$ ham kerak: yuqoridagi misolda $x=0$ chet, faqat $x=3$
$(\sqrt{f}+\sqrt{g})^2=f+g$	o'rtadagi had unutilgan: $2\sqrt{fg}$ ham qo'shiladi
$(x+1)^2=x^2+1$	o'rtadagi had unutilgan: $2x$ ham qo'shiladi
$t=\sqrt{\ldots}$ almashtirishda $t=-5$ ni qabul qilish	$t\ge 0$ , manfiy $t$ tashlanadi
$\sqrt{(x-1)(x-3)}$ ni ikki ildiz ko'paytmasi deb yozish	$x\le 1$ dagi ildizlar yo'qoladi: bu tenglik faqat $x\ge 3$ da
$\sqrt{(2x-1)^2}=2x-1$	modul kerak: $\|2x-1\|$
$\sqrt[3]{f}=g$ da $g\ge 0$ talab qilish	shart yo'q: $\sqrt[3]{x}=-2$ , $x=-8$
$x$ ga qaytmasdan $t$ ni javob deb yozish	$t$ topilgach, $x$ topiladi va so'ralgan qiymat hisoblanadi

Eslab qoling

Juft darajali ildiz ostida $f\ge 0$ , maxrajda $f>0$ . Toq darajali ildizda cheklov yo'q.
$\sqrt{f}=g$ da $g\ge 0$ va $f=g^2$ .
Kvadratga oshirish chet ildiz qo'shishi mumkin: $g\ge 0$ ni tekshiramiz yoki sonni tenglamaga qo'yamiz.
$\sqrt{f}=\sqrt{g}$ da $f=g$ va $f\ge 0$ .
$f\cdot\sqrt{g}=0$ : $g=0$ yoki $f=0$ va $g\ge 0$ . Ildizli ko'paytuvchiga bo'lib yubormaymiz.
$\sqrt{f}-\sqrt{g}=c$ , $c\ne 0$ va $f-g$ son bo'lsa, $\sqrt{f}+\sqrt{g}=\dfrac{f-g}{c}$ .
$t=\sqrt{\ldots}\ge 0$ : manfiy $t$ tashlanadi, keyin $x$ ga qaytamiz.
$\sqrt{a^2}=|a|$ : ildiz ichidagi to'liq kvadrat modul beradi.
$\sqrt[3]{f}=g\iff f=g^3$ , shartsiz.
Viyet teoremasidan oldin diskriminant va ildizlarning shartlari tekshiriladi.