Irratsional tengsizliklar: matematika darsi

$\sqrt{x+10}>x-2$ tengsizlikni shunchaki kvadratga oshirsak, $(-1;\,6)$ chiqadi. To'g'ri javob esa $[-10;\,6)$ : $x=-5$ da chap tomon $\sqrt{5}$ , o'ng tomon $-7$ , tengsizlik bajariladi, lekin bu son javobga kirmay qoladi. Tengsizlikda topilgan sonlarni birma-bir tekshirib bo'lmaydi, chunki yechim odatda cheksiz ko'p sondan iborat. Shuning uchun har bir ko'rinishning aniq shartlari bor. Bu darsda ular to'liq beriladi.

Birinchi qadam: aniqlanish sohasi

Noma'lum ildiz ostida turgan tengsizlik irratsional tengsizlik deyiladi. Har bir juft darajali ildiz ostidagi ifoda manfiy emas, maxrajdagi ildiz ostidagi ifoda musbat. Yechim shu sohadan tashqariga chiqmaydi.

Soha bir nechta oraliqdan iborat bo'lishi yoki alohida nuqtani o'z ichiga olishi mumkin: $\sqrt{x^2-25}$ va $\sqrt{5x+25}$ uchun umumiy soha $x=-5$ yoki $x\ge 5$ .

Kvadratga qachon oshirish mumkin

Ikkala tomon manfiy bo'lmasa, kvadratga oshirish tengsizlik belgisini saqlaydi: $a,b\ge 0$ da $a<b\iff a^2<b^2$ . Boshqa hollarda bu to'g'ri emas.

Tomonlar	Misol	Kvadratlar	Xulosa
Tomonlarikkalasi manfiy emas	Misol $2<5$	Kvadratlar $4<25$	Xulosabelgi saqlanadi
Tomonlarikkalasi manfiy	Misol $-5<-2$	Kvadratlar $25>4$	Xulosabelgi almashadi
Tomonlarhar xil ishorali	Misol $-5<2$	Kvadratlar $25>4$	Xulosaoldindan aytib bo'lmaydi
Tomonlarhar xil ishorali	Misol $-1<2$	Kvadratlar $1<4$	Xulosaoldindan aytib bo'lmaydi

O'ng tomon son bo'lsa

Tengsizlik	$a>0$	$a=0$	$a<0$
Tengsizlik $\sqrt{f}<a$	$a>0$ $0\le f<a^2$	$a=0$ yechim yo'q	$a<0$ yechim yo'q
Tengsizlik $\sqrt{f}\le a$	$a>0$ $0\le f\le a^2$	$a=0$ $f=0$	$a<0$ yechim yo'q
Tengsizlik $\sqrt{f}>a$	$a>0$ $f>a^2$	$a=0$ $f>0$	$a<0$ $f\ge 0$
Tengsizlik $\sqrt{f}\ge a$	$a>0$ $f\ge a^2$	$a=0$ $f\ge 0$	$a<0$ $f\ge 0$

Masalan, $f=x+3$ bo'lsin. Kichik belgida soha sharti alohida yoziladi, katta belgida $f>a^2$ ning o'zi sohani ta'minlaydi.

Tengsizlik	Yechim
$\sqrt{x+3}<2$	$-3\le x<1$
$\sqrt{x+3}\le 0$	$x=-3$
$\sqrt{x+3}<-1$	yechim yo'q
$\sqrt{x+3}>2$	$x>1$
$\sqrt{x+3}>0$	$x>-3$
$\sqrt{x+3}>-1$	$x\ge -3$

Ildiz kichik

\sqrt{f}<g\iff\begin{cases}f\ge 0\\g>0\\f<g^2\end{cases}

Uchta shart birga bajariladi

\sqrt{f}\le g\iff\begin{cases}f\ge 0\\g\ge 0\\f\le g^2\end{cases}

Noqat'iy holatda

g=0

ham mumkin

Sababi: ildiz manfiy emas, undan katta $g$ esa albatta musbat. Shu bilan ikkala tomon manfiy emas va kvadratga oshirish mumkin. $f\ge 0$ yozilmasa, sohadan tashqaridagi sonlar javobga kirib qoladi. Tengsizlik $g>\sqrt{f}$ ko'rinishida yozilgan bo'lsa ham, bu aynan shu hol.

Misol

Tengsizlikni yeching: $\sqrt{x+6}<x$

$x+6\ge 0,\quad x>0:\quad x>0$
Soha va o'ng tomon sharti. Kuchlirog'i qoladi.
$x+6<x^2,\quad x^2-x-6>0$
Ikkala tomon manfiy emas, kvadratga oshiramiz.
$(x-3)(x+2)>0$
Ko'paytuvchilarga ajratamiz.
$x<-2\ \text{yoki}\ x>3$
Oraliqlar usuli.
$x>0\ \text{bilan kesishma}:\quad x>3$
Tekshiruv: $x=3$ da $3<3$ noto'g'ri, $x=6$ da $\sqrt{12}<6$ to'g'ri.

Javob: $(3;\,+\infty)$

Ildiz katta

$\sqrt{f}>g$ tengsizlik ikki holatda bajariladi:

\begin{cases}g<0\\f\ge 0\end{cases}\ \text{yoki}\ \begin{cases}g\ge 0\\f>g^2\end{cases}

Ikki holatning birlashmasi

$\sqrt{f}\ge g$ tengsizlik ham ikki holatda bajariladi:

\begin{cases}g<0\\f\ge 0\end{cases}\ \text{yoki}\ \begin{cases}g\ge 0\\f\ge g^2\end{cases}

Noqat'iy holatda ikkinchi sistemada

f=g^2

ham kiradi

Birinchi holat: $g$ manfiy, ildiz esa manfiy emas, tengsizlik soha ichida o'z-o'zidan bajariladi. Ikkinchi holat: $g\ge 0$ , ikkala tomon manfiy emas, kvadratga oshiramiz. Bu yerda $f\ge 0$ yozilmaydi: $f>g^2$ dan u kelib chiqadi.

Misol

Tengsizlikni yeching: $\sqrt{x+10}>x-2$

$-10\le x<2$
Birinchi holat: o'ng tomon manfiy, $x-2<0$ . Soha sharti $x+10\ge 0$ .
$x\ge 2:\quad x+10>x^2-4x+4$
Ikkinchi holat: kvadratga oshiramiz.
$x^2-5x-6<0,\quad -1<x<6$
$(x-6)(x+1)<0$ .
$2\le x<6$
Holat sharti $x\ge 2$ bilan kesishma.
$-10\le x<6$
Ikki holat birlashadi: $-10\le x<2$ va $2\le x<6$ . $x=6$ da $4>4$ noto'g'ri.

Javob: $[-10;\,6)$

Sohada har bir son yoki $\sqrt{f}>g$ ni, yoki $\sqrt{f}\le g$ ni qanoatlantiradi. $\sqrt{x+10}\le x-2$ ning yechimi esa sohaning qolgan qismi: $[6;\,+\infty)$ . Bu javobni tekshirishning qulay yo'li.

Soha kichik kesma bo'lsa va butun yechimlar so'ralsa, sonlarni bevosita tekshirish ham mumkin. $\sqrt{10x-x^2-16}>x-6$ da soha $2\le x\le 8$ . $x=2;\ldots;5$ da o'ng tomon manfiy, $x=6$ da $\sqrt{8}>0$ , $x=7$ da $\sqrt{5}>1$ , $x=8$ da $0>2$ noto'g'ri. Butun yechimlar soni $6$ .

Ikki ildizni taqqoslash

\sqrt{f}<\sqrt{g}\iff 0\le f<g

\sqrt{f}\le\sqrt{g}\iff 0\le f\le g

Kichigi manfiy bo'lmasa, kattasi o'z-o'zidan manfiy emas

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish