Murakkab foiz masalalari: ketma-ket o'zgarish, foyda, maosh ulushi: matematika darsi

Narx $20\%$ ga oshib, keyin $20\%$ ga tushsa, joyiga qaytmaydi: $1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96$ , ya'ni $4\%$ ga arzonlashadi. Sababi, ikkinchi foiz boshqa sondan olinadi. Bu darsda ketma-ket o'zgarish, bank foizi, foyda va zarar, chegirma, mablag'ni bo'lib qo'yish masalalari uchun noma'lum, jadval, tenglama va tekshiruv ko'rsatiladi.

Har bir foizli o'zgarish ko'paytuvchidir

1+\frac{p}{100}

1-\frac{p}{100}

p\%

ga oshirish va

p\%

ga kamaytirish shu ko'paytuvchilarga ko'paytirishdir

Har bir foiz o'zidan oldingi natijadan olinsa, ko'paytuvchilar ko'paytiriladi va foizlar qo'shilmaydi.

O'zgarishlar	Ko'paytuvchilar	Natija
O'zgarishlar $+20\%$ , $-20\%$	Ko'paytuvchilar $1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96$	Natija $4\%$ ga kamaydi
O'zgarishlar $+50\%$ , $-50\%$	Ko'paytuvchilar $1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75$	Natija $25\%$ ga kamaydi
O'zgarishlar $+25\%$ , $-20\%$	Ko'paytuvchilar $1{,}25\cdot 0{,}8=1$	Natijao'zgarmadi
O'zgarishlar $+10\%$ , $+10\%$	Ko'paytuvchilar $1{,}1\cdot 1{,}1=1{,}21$	Natija $21\%$ ga oshdi
O'zgarishlar $-30\%$ , $+40\%$	Ko'paytuvchilar $0{,}7\cdot 1{,}4=0{,}98$	Natija $2\%$ ga kamaydi

Faqat foizlar bo'lsa, tartib ahamiyatsiz: $1{,}2\cdot 0{,}9=0{,}9\cdot 1{,}2$ . So'm bilan berilgan o'zgarish qo'shilsa, tartib muhim. Masala: daftar narxi avval $20\%$ ga, keyin $100$ so'mga arzonlashib, $500$ so'm bo'ldi. Noma'lum $x$ : dastlabki narx. Tenglama: $0{,}8x-100=500$ , $x=750$ . Tekshiruv: $750\to 600\to 500$ .

Oraliq narx so'ralishi mumkin. Narx ketma-ket ikki marta $25\%$ ga oshib $1250$ so'm bo'lsa, birinchi oshishdan keyingi narx $y$ uchun $1{,}25y=1250$ , $y=1000$ . Dastlabki narx $800$ emas, oraliq narx so'ralgan.

Bir xil foizga ketma-ket o'zgarish

Masala: narx ketma-ket ikki marta bir xil foizga oshib, $4000$ so'mdan $5290$ so'mga yetdi. Noma'lum $k$ : bir marta oshirishdagi ko'paytuvchi, $k>0$ . Foizning o'zini noma'lum qilishdan bu qulayroq.

4000k^2=5290

k^2=1{,}3225

k=1{,}15

Manfiy ildiz tashlanadi, chunki narx musbat. Ko'paytuvchi

1{,}15

degani

15\%

ga oshish

Tekshiruv: $4000\cdot 1{,}15=4600$ , $4600\cdot 1{,}15=5290$ . Javob: $15\%$ . Umumiy o'sish $32{,}25\%$ , uni $2$ ga bo'lib $16{,}125\%$ deyish xato.

Kamayishda ham shunday: $80$ so'mdan $51{,}2$ so'mga tushsa, $k^2=0{,}64$ , $k=0{,}8$ , ya'ni har gal $20\%$ ga.

Bank foizi

Turi	Foiz nimadan olinadi	$n$ yildan keyingi summa
Turioddiy foiz	Foiz nimadan olinadihar yili boshlang'ich summadan	$n$ yildan keyingi summa $A\left(1+\dfrac{np}{100}\right)$
Turimurakkab foiz	Foiz nimadan olinadihar yili oldingi yil oxiridagi summadan	$n$ yildan keyingi summa $A\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$

Matnda "har yili $p\%$ ga ortadi" yoki "foiz ham hisobga qo'shiladi" deyilsa, murakkab foiz. $A=2\,000\,000$ , $p=10$ , $n=3$ da oddiy foiz $2\,600\,000$ , murakkab foiz $2\,000\,000\cdot 1{,}331=2\,662\,000$ beradi. Ishlab chiqarish har yili $10\%$ ga ortsa, $3$ yilda $30\%$ ga emas, $33{,}1\%$ ga ortadi.

A_n=A_0\left(1-\frac{p}{100}\right)^n

Har yili kamayish,

0\le p\le 100

Dastlabki qiymatga qaytarish

Barcha o'zgarishlardan keyin qiymat $k$ marta oshgan bo'lsa, bunda $k>1$ , qaytarish uchun narxni $k$ ga bo'lish kerak, ya'ni $1-\dfrac{1}{k}$ qismga kamaytirish.

Masala: narxi $a$ bo'lgan mol avval $60\%$ ga, so'ng $25\%$ ga qimmatlashdi, keyin $20\%$ ga arzonlashdi. Hozirgi narxi: $1{,}6\cdot 1{,}25\cdot 0{,}8\,a=1{,}6a$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish