Asosiy trigonometrik ayniyatlar: matematika darsi

$\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ ma'lum bo'lsa, qolgan uchta funksiya ham deyarli topilgan: faqat ishorani chorak hal qiladi. Birlik aylanadagi bir nechta oddiy tenglik bitta funksiyadan hammasini topishga va murakkab ifodani bir qatorga keltirishga imkon beradi.

Asosiy ayniyatlar

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Har qanday

\alpha

uchun.

M(\cos\alpha;\,\sin\alpha)

nuqta birlik aylanada yotadi:

x^2+y^2=1

Qolgan ayniyatlar shu tenglikdan va tangens, kotangens ta'rifidan chiqadi. Shartlar muhim: formula faqat unda qatnashgan funksiyalar mavjud bo'lganda o'rinli.

Ayniyat	Sharti	Qayerdan
Ayniyat $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	Sharti $\cos\alpha\ne 0$	Qayerdanta'rif
Ayniyat $\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$	Sharti $\sin\alpha\ne 0$	Qayerdanta'rif
Ayniyat $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$	Sharti $\sin\alpha\ne 0,\ \cos\alpha\ne 0$	Qayerdanikki ta'rifni ko'paytiramiz
Ayniyat $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$	Sharti $\cos\alpha\ne 0$	Qayerdanasosiy ayniyatni $\cos^2\alpha$ ga bo'lamiz
Ayniyat $1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$	Sharti $\sin\alpha\ne 0$	Qayerdanasosiy ayniyatni $\sin^2\alpha$ ga bo'lamiz

$\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$ tenglik $\alpha=\dfrac{\pi n}{2}$ da o'rinli emas, chunki u yerda ikkalasidan biri mavjud emas. Shuning uchun $y=\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$ funksiya $1$ ga teng, lekin faqat $x\ne\dfrac{\pi n}{2}$ da aniqlangan.

Bitta funksiya orqali qolganlarini topish

Kvadratlarni ayniyatdan topamiz, ishorani burchak yotgan chorak bo'yicha tanlaymiz. Chorak berilmasa va ishora muhim bo'lsa, javob ikkita bo'ladi.

|\sin\alpha|=\sqrt{1-\cos^2\alpha}

|\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^2\alpha}

Ildiz manfiy bo'lmagan sonni beradi, ishorani alohida qo'yamiz

Tangens yoki kotangens berilganda quyidagi tengliklar ishorasiz ishlaydi. Tangensli ustun $\cos\alpha\ne 0$ da, kotangensli ustun $\sin\alpha\ne 0$ da o'rinli.

Topiladi	$\operatorname{tg}\alpha$ orqali	$\operatorname{ctg}\alpha$ orqali
Topiladi $\sin^2\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$ orqali $\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$	$\operatorname{ctg}\alpha$ orqali $\dfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}$
Topiladi $\cos^2\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$ orqali $\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$	$\operatorname{ctg}\alpha$ orqali $\dfrac{\operatorname{ctg}^2\alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}$
Topiladi $\sin\alpha\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$ orqali $\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$	$\operatorname{ctg}\alpha$ orqali $\dfrac{\operatorname{ctg}\alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}$

Masalan, $\operatorname{tg}x=\dfrac{1}{2}$ bo'lsa, $\cos^2x=\dfrac{4}{5}$ , $\sin^2x=\dfrac{1}{5}$ . Shu sababli yuqori darajalar ham oson:

\cos^8x-\sin^8x=\frac{4^4-1}{5^4}

=\frac{255}{625}=\frac{51}{125}

x

ning choragi kerak emas, chunki darajalar juft

Bir jinsli kasrlar

Surat va maxrajdagi har bir hadda $\sin\alpha$ va $\cos\alpha$ darajalari yig'indisi bir xil bo'lsa, kasr bir jinsli deyiladi. Bunday kasrda surat va maxrajni $\cos^n\alpha$ ga bo'lamiz, $n$ darajalar yig'indisi. $\operatorname{tg}\alpha$ berilgani uchun $\cos\alpha\ne 0$ , shuning uchun bo'lish mumkin. Yangi maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak.

\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{c\sin\alpha+d\cos\alpha}=\frac{a\operatorname{tg}\alpha+b}{c\operatorname{tg}\alpha+d}

Birinchi darajali,

\cos\alpha

ga bo'lamiz

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish