O'sish va kamayish oraliqlari

$y=x^3-3x$ funksiya $x=-2$ dan $x=-1$ gacha $-2$ dan $2$ gacha ko'tariladi, $x=1$ gacha $-2$ ga tushadi, keyin yana ko'tariladi. Grafik chizmasdan bu oraliqlarni bitta narsa aytib beradi: hosilaning ishorasi. Imtihonda o'sish oralig'i, undagi butun sonlar, oraliq uzunligi va parametr shu usul bilan topiladi.

O'suvchi va kamayuvchi funksiya

Biror oraliqning istalgan $x_1<x_2$ nuqtalari uchun $f(x_1)<f(x_2)$ bo'lsa, $f$ shu oraliqda o'suvchi; $f(x_1)>f(x_2)$ bo'lsa, kamayuvchi deyiladi. Bunday funksiya shu oraliqda monoton deyiladi.

Masalan, $y=x^2$ funksiya $[0;\,+\infty)$ da o'suvchi, $(-\infty;\,0]$ da kamayuvchi, butun son o'qida esa monoton emas: $(-1)^2=1^2$.

Hosila ishorasi bilan bog'lanish

Sababi geometrik: $f'(x)>0$ bo'lsa, har bir nuqtadagi urinma yuqoriga qarab ketadi. Bu natijalar faqat bitta yaxlit oraliqda to'g'ri.

Teskari tasdiq boshqacha: differensiallanuvchi funksiya oraliqda o'ssa, $f'(x)\ge 0$ bo'ladi, lekin $f'(x)>0$ bo'lishi shart emas. $y=x^3$ butun son o'qida o'sadi, ammo $y'(0)=0$.

$f'(x)\ge 0$ dagi "alohida nuqtalarda" sharti muhim: $y=5$ uchun ham $y'\ge 0$, lekin bu funksiya o'smaydi.

Oraliqlarni topish tartibi

1. Aniqlanish sohasini toping.
2. $f'(x)$ ni toping va ko'paytuvchilarga ajrating.
3. $f'(x)=0$ bo'lgan va $f'$ mavjud bo'lmagan nuqtalarni sonlar o'qiga qo'ying.
4. Har bir oraliqda ishorani aniqlang: bitta sonni qo'yish yetarli. Toq karrali ildizda ishora almashadi, juft karralida almashmaydi.
5. Javobni aniqlanish sohasi bilan solishtiring.

Yuqoridagi $y=x^3-3x$ uchun $y'=3(x-1)(x+1)$:

Chegara nuqtada funksiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u oraliqqa kiritiladi, shuning uchun javoblar yopiq kesma bilan yoziladi. Funksiya aniqlanmagan nuqta kirmaydi.