Ekstremumlar: matematika darsi

$y=x+\dfrac{1}{x}$ funksiyaning maksimumi $-2$ , minimumi esa $2$ . Maksimum minimumdan kichik: gap shundaki, ekstremum butun grafikdagi emas, nuqta atrofidagi eng katta yoki eng kichik qiymat. Bu darsda ekstremum qayerda bo'lishi mumkinligi va uni qanday tekshirish aniq shartlar bilan beriladi.

Ta'riflar

$x_0$ nuqtaning biror atrofida barcha $x$ uchun $f(x)\le f(x_0)$ bo'lsa, $x_0$ maksimum nuqta; $f(x)\ge f(x_0)$ bo'lsa, minimum nuqta deyiladi. Maksimum va minimum nuqtalar ekstremum nuqtalar deyiladi.

Atama	Nima	$y=x^3-3x$ uchun
AtamaMaksimum nuqta	Nima $x$ ning qiymati	$y=x^3-3x$ uchun $x=-1$
AtamaFunksiyaning maksimumi	Nima $f(x)$ ning qiymati	$y=x^3-3x$ uchun $y_{\max}=2$
AtamaMinimum nuqta	Nima $x$ ning qiymati	$y=x^3-3x$ uchun $x=1$
AtamaFunksiyaning minimumi	Nima $f(x)$ ning qiymati	$y=x^3-3x$ uchun $y_{\min}=-2$

y=x+\dfrac{1}{x}

B(-1;\,-2)

da maksimum

-2

A(1;\,2)

da minimum

2

. Ekstremum mahalliy tushuncha, maksimum minimumdan kichik bo'lishi mumkin

Kritik nuqta

Kritik nuqta deb, aniqlanish sohasining ichki nuqtasiga aytiladi, agar unda $f'(x)=0$ bo'lsa yoki $f'(x)$ mavjud bo'lmasa.

Misol: $y=x^2$ da $x=0$ ( $y'=0$ ); $y=|x|$ da $x=0$ (hosila yo'q); $y=\dfrac{1}{x}$ da kritik nuqta yo'q, chunki $x=0$ sohaga kirmaydi va hosila hech qayerda nol emas.

Ekstremumning zaruriy sharti

Agar $f$ funksiya $x_0$ da ekstremumga ega bo'lsa va shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, $f'(x_0)=0$ (Ferma teoremasi). Demak ekstremum faqat kritik nuqtada bo'lishi mumkin.

Teskarisi to'g'ri emas: har bir kritik nuqta ham ekstremum emas. $y=x^3$ da $y'(0)=0$ , lekin $x=0$ da ekstremum yo'q, funksiya o'sishda davom etadi.

Hosila mavjud bo'lmagan nuqtada ham ekstremum bo'lishi mumkin: $y=|x|$ uchun $x=0$ minimum nuqta. Ammo hosila yo'qligi ham kafolat bermaydi: $y=\sqrt[3]{x}$ da $x=0$ da hosila yo'q va ekstremum ham yo'q.

y=x^3

y'(0)=0

, ekstremum yo'q.

y=|x|

x=0

da hosila yo'q, lekin minimum bor

Birinchi yetarli shart: hosila ishorasi

$f$ kritik nuqta $x_0$ da uzluksiz bo'lsin. $f'$ ishorasini $+$ dan $-$ ga o'zgartirsa, $x_0$ maksimum; $-$ dan $+$ ga o'zgartirsa, minimum; o'zgartirmasa, ekstremum yo'q.

$x_0$ dan chapda	$x_0$ dan o'ngda	Natija
$x_0$ dan chapda $f'>0$	$x_0$ dan o'ngda $f'<0$	Natijamaksimum
$x_0$ dan chapda $f'<0$	$x_0$ dan o'ngda $f'>0$	Natijaminimum
$x_0$ dan chapda $f'>0$	$x_0$ dan o'ngda $f'>0$	Natijaekstremum yo'q
$x_0$ dan chapda $f'<0$	$x_0$ dan o'ngda $f'<0$	Natijaekstremum yo'q

Uzluksizlik sharti kerak: $y=\dfrac{1}{x^2}$ da hosila $x=0$ dan o'tishda ishorasini $+$ dan $-$ ga o'zgartiradi, lekin bu nuqtada funksiya aniqlanmagan, shuning uchun maksimum emas.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish