Kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat, optimallash

$y=x^3-3x$ funksiyaning $x=-1$ dagi maksimumi $2$. Ammo $[0;\,3]$ kesmada eng katta qiymat $18$, u kesmaning oxirida olinadi, $x=-1$ esa bu kesmaga kirmaydi ham. Ekstremum bilan eng katta qiymat boshqa narsa. Quti, konus, narx kabi amaliy masalalar ham shu usul bilan yechiladi.

Eng katta va eng kichik qiymat qachon mavjud

Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada eng katta va eng kichik qiymatiga erishadi.

Ikki shart ham kerak. $y=\dfrac{1}{x}$ uchun $(0;\,1]$ da eng katta qiymat yo'q (oraliq yopiq emas), $[-1;\,1]$ da ham yo'q (funksiya uzilishga ega). Oraliq ochiq yoki funksiya uzilishga ega bo'lsa, alohida tekshirish kerak.

Kesmada topish tartibi

1. $f'(x)$ ni toping va kritik nuqtalarni aniqlang.
2. Faqat kesma ichidagi kritik nuqtalarni qoldiring.
3. $f$ ni shu nuqtalarda va kesmaning ikki uchida hisoblang.
4. Sonlarni solishtiring: eng kattasi va eng kichigi javob.

Yuqoridagi misolda: $y'=3(x-1)(x+1)$, ichki kritik nuqta faqat $x=1$. $y(0)=0$, $y(1)=-2$, $y(2)=2$. Eng katta $2$, eng kichik $-2$. $x=-1$ dagi $y=2$ qiymat kesmaga aloqasiz, sonlari tasodifan bir xil.

Maxsus hollar qisqaroq: kesmada $f'>0$ bo'lsa, eng kichik qiymat chap uchida, eng katta qiymat o'ng uchida; $f'<0$ bo'lsa, aksincha. Oraliqda uzluksiz funksiyaning yagona ekstremum nuqtasi bo'lsa, u maksimum bo'lganda eng katta qiymatni, minimum bo'lganda eng kichik qiymatni beradi.

Kritik nuqtalar kasr, ildiz va trigonometriyada

Ikkinchi qatorda $x=0$ da hosila yo'q, lekin bu kesmaning uchi, u baribir hisobga olinadi. Uchinchi qatorda $y'=\ln 2\,(2^x-2^{4-x})$.

Monoton tashqi funksiya masalani soddalashtiradi. $y=\log_{1/2}(x^2-x+2)$, $[2;\,3]$: ichki ifoda $x=2$ da $4$, $x=3$ da $8$, u shu kesmada o'sadi. Asos $\dfrac{1}{2}<1$ bo'lgani uchun logarifm kamayadi: $y(2)=-2$ eng katta, $y(3)=-3$ eng kichik, ayirmasi $1$.