Piramida: sirt yuzi, hajm, ikki yoqli burchak: matematika darsi

Piramida hajmi bir xil asos va balandlikdagi prizma hajmidan uch marta kichik. Asosi tomoni $6$ kvadrat, balandligi $4$ bo'lsa, $V=\dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$ . Masalalarning aksariyati bitta savolga keladi: balandlikning asosi qayerga tushadi? Bu darsda shu savol, muntazam piramidaning to'g'ri burchakli uchburchaklari va kesik piramida to'liq beriladi.

Ta'riflar

Piramida asosi ko'pburchak, yon yoqlari umumiy $S$ uchga ega uchburchaklar. Uchdan asos tekisligiga tushirilgan perpendikulyar balandlik. Asosi $n$ burchakli piramidada $n+1$ yoq, $2n$ qirra va $n+1$ uch bor. Uchburchakli piramida tetraedr deb ham ataladi.

Muntazam piramida: asosi muntazam ko'pburchak, balandligi asos markaziga tushadi. Unda yon qirralar teng, yon yoqlar teng teng yonli uchburchaklar. Yon yoqning uchidan tushirilgan balandligi apofema deyiladi.

{SO=H}

balandlik,

{SM=l}

apofema,

{SA=b}

yon qirra,

{OM=\rho}

{OA=R}

Hajm va sirt

V=\frac13S_{\text{asos}}\cdot H

Har qanday piramida. Tetraedrda istalgan yoqni asos deb olish mumkin

S=S_{\text{yon}}+S_{\text{asos}}

To'la sirtda asos bitta

S_{\text{yon}}=\frac12P\cdot l

Faqat yon yoqlari asos tomonlariga tushirilgan balandligi teng piramidada, masalan muntazam piramidada

Umumiy holda yon sirt yoqlar yuzlarini alohida qo'shib topiladi. Yuz formulasidagi $l$ apofema, $b$ yon qirra emas: $S_{\text{yon}}\ne\dfrac{1}{2}Pb$ .

Muntazam piramidaning uchburchaklari

Barcha hisoblar quyidagi to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakda bajariladi. $\rho$ asosga ichki chizilgan, $R$ tashqi chizilgan aylana radiusi, $a$ asos tomoni.

Uchburchak	Tomonlar	Formula
Uchburchak $SOA$	Tomonlar $H$ , $R$ , $b$	Formula $b^2=H^2+R^2$
Uchburchak $SOM$	Tomonlar $H$ , $\rho$ , $l$	Formula $l^2=H^2+\rho^2$
Uchburchak $SMA$	Tomonlar $l$ , $\dfrac{a}{2}$ , $b$	Formula $b^2=l^2+\dfrac{a^2}{4}$
Uchburchak $OMA$	Tomonlar $\rho$ , $\dfrac{a}{2}$ , $R$	Formula $R^2=\rho^2+\dfrac{a^2}{4}$

Bir chizmada ikki uchburchak: o'ngda

SOM

va ikki yoqli burchak

\varphi

, chapda

SOA

va yon qirra burchagi

\alpha

. Asos tomoni

8

, balandligi

6

Asos	$S_{\text{asos}}$	$R$	$\rho$
AsosMuntazam uchburchak	$S_{\text{asos}}$ $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$	$R$ $\dfrac{a}{\sqrt3}$	$\rho$ $\dfrac{a}{2\sqrt3}$
AsosKvadrat	$S_{\text{asos}}$ $a^2$	$R$ $\dfrac{a\sqrt2}{2}$	$\rho$ $\dfrac{a}{2}$
AsosMuntazam oltiburchak	$S_{\text{asos}}$ $\dfrac{3\sqrt3a^2}{2}$	$R$ $a$	$\rho$ $\dfrac{a\sqrt3}{2}$
AsosMuntazam $n$ burchak	$S_{\text{asos}}$ $\dfrac{1}{2}P\rho$	$R$ $\dfrac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}$	$\rho$ $\dfrac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}$

Tomonlar soni ichki burchaklar yig'indisidan topiladi: $180^\circ(n-2)=720^\circ$ bo'lsa, $n=6$ . O'n ikki burchakli asosda $a=2\rho\operatorname{tg}15^\circ=2\rho(2-\sqrt3)$ . Kvadrat asosda diagonal kesim teng yonli uchburchak: yuzi $\dfrac{1}{2}a\sqrt2\cdot H$ , asos yuzi esa $\dfrac{d^2}{2}$ orqali ham topiladi.

Burchaklar

Burchak	Qaysi uchburchakda	Formula
Burchak $\alpha$ : yon qirra va asos tekisligi	Qaysi uchburchakda $SOA$ , $A$ uchida	Formula $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{H}{R}$ , $H=b\sin\alpha$ , $R=b\cos\alpha$
Burchak $\beta$ : yon qirra va balandlik	Qaysi uchburchakda $SOA$ , $S$ uchida	Formula $H=b\cos\beta$ , $R=b\sin\beta$
Burchak $\varphi$ : yon yoq va asos (asosdagi ikki yoqli burchak)	Qaysi uchburchakda $SOM$ , $M$ uchida	Formula $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{H}{\rho}$ , $\cos\varphi=\dfrac{\rho}{l}$

$\varphi$ nega aynan $\angle SMO$ : $OM\perp AB$ asosda, uch perpendikulyar teoremasi bo'yicha $SM\perp AB$ . Ikki perpendikulyar orasidagi burchak chiziqli burchakdir.

Balandlik asosi qayerga tushadi

Shart	Asos nuqtasi	Formulalar
ShartBarcha yon qirralar teng yoki asos bilan bir xil burchak hosil qiladi	Asos nuqtasitashqi aylana markazi	Formulalar $H=R\operatorname{tg}\alpha$ , $b^2=H^2+R^2$
ShartBarcha yon yoqlar asos bilan bir xil burchak hosil qiladi va balandlik asosi ko'pburchak ichida	Asos nuqtasiichki aylana markazi	Formulalar $H=\rho\operatorname{tg}\varphi$ , $S_{\text{yon}}=\dfrac{S_{\text{asos}}}{\cos\varphi}$

Yon qirralar teng bo'lsa, asos aylanaga ichki chizilgan bo'lishi kerak: to'g'ri burchakli uchburchakda $R$ gipotenuzaning yarmi, trapetsiya esa faqat teng yonli bo'ladi. Asos ichida katta tomonga tiralgan burchak to'g'ri bo'lsa, shu tomon diametr: $\angle ACD=90^\circ$ bo'lsa, $R=\dfrac{AD}{2}$ .

Ikki yoqli burchaklar teng bo'lsa, asos aylanaga tashqi chizilgan bo'ladi:

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish