Konus: matematika darsi

To'g'ri burchakli uchburchakni kateti atrofida aylantirsak, konus hosil bo'ladi. Radiusi $9$ , yasovchisi $15$ bo'lgan konusda balandlik $12$ , hajm $324\pi$ . Bir xil asos va balandlikda konus hajmi silindrnikidan uch marta kichik. Bu darsda konus, uning yoyilmasi, kesimlari, o'xshash qismlari va kesik konus to'liq beriladi.

Ta'riflar

Konus uchini asos aylanasi nuqtalari bilan tutashtiruvchi kesmalar yasovchilar deyiladi, barchasi teng. Uchdan asos markaziga tushgan $SO$ balandlik. O'q kesimi teng yonli uchburchak: yon tomonlari $l$ , asosi $2R$ .

SO=H

OA=R

SA=l

\alpha

yasovchi va asos burchagi,

\beta

yasovchi va balandlik burchagi

l^2=R^2+H^2

Bu yasovchi, radius va balandlik orasidagi asosiy bog'lanish

Burchak	$R$	$H$
Burchak $\alpha$ : yasovchi va asos	$R$ $l\cos\alpha$	$H$ $l\sin\alpha$
Burchak $\beta$ : yasovchi va balandlik	$R$ $l\sin\beta$	$H$ $l\cos\beta$

$\alpha+\beta=90^\circ$ . O'q kesimi uchidagi burchak $2\beta$ : u $120^\circ$ bo'lsa, $\beta=60^\circ$ . O'q kesimi to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, $\beta=45^\circ$ , $H=R$ . Muntazam uchburchak bo'lsa, $\beta=30^\circ$ , $l=2R$ , $H=R\sqrt3$ . O'q kesimi yuzi $RH$ , perimetri $2l+2R$ .

Hajm va sirt

V=\frac13\pi R^2H

H

balandlik, yasovchi emas

S_{\text{yon}}=\pi Rl

S=\pi Rl+\pi R^2=\pi R(R+l)

Yon sirtda yasovchi turadi, balandlik emas

\frac{S_{\text{yon}}}{S_{\text{asos}}}=\frac{l}{R}=\frac{1}{\cos\alpha}

Asos yon sirtning proyeksiyasi, xuddi piramidadagidek

To'la sirt asosdan $3$ marta katta bo'lsa, $S_{\text{yon}}=2S_{\text{asos}}$ , ya'ni $l=2R$ , $\alpha=60^\circ$ . To'la sirt asosdan $4$ marta katta bo'lsa, $l=3R$ , $H=2\sqrt2\,R$ . Asos markazidan yasovchigacha masofa $SOA$ uchburchakning balandligi: $\dfrac{RH}{l}$ .

O'q kesimining ikki tomoni berilganda qaysi biri asos ekanini uchburchak tengsizligi aytadi. Tomonlar $8$ va $17$ bo'lsa, $8+8<17$ , shuning uchun uchburchak faqat $17$ , $17$ , $8$ bo'ladi: $l=17$ , $2R=8$ .

Yoyilma

Yon sirtni yasovchi bo'ylab kesib yoysak, radiusi $l$ bo'lgan sektor chiqadi. Sektor yoyi asos aylanasiga teng, shundan markaziy burchak topiladi:

2\pi R=2\pi l\cdot\frac{\theta}{360^\circ}

\theta=360^\circ\cdot\frac{R}{l}

\theta

sektor burchagi. Sektor yuzi

\pi l^2\dfrac{\theta}{360^\circ}=\pi Rl

l=9

R=3

\theta=120^\circ

. Shtrix kesma eng qisqa aylanib o'tish yo'li

Doiradan sektor qirqib, qolgan qismi o'ralganda konusning yasovchisi doira radiusiga teng, sektor burchagi esa qolgan qismniki. Radiusi $15$ , burchagi $216^\circ$ sektordan: $R=15\cdot\dfrac{216}{360}=9$ , $H=12$ , $V=324\pi$ .

Yon sirt bo'ylab asos aylanasidagi nuqtadan chiqib, konusni bir marta aylanib qaytadigan eng qisqa yo'l yoyilmada sektorning $A$ va $A_1$ chetlari orasidagi vatar: $\theta<180^\circ$ bo'lganda $d=2l\sin\dfrac{\theta}{2}$ .

$l=9$ , $\theta=120^\circ$ da $d=18\sin 60^\circ=9\sqrt3$ . Xususan, $l=4R$ da $\theta=90^\circ$ va $d=l\sqrt2$ . $\theta\ge 180^\circ$ bo'lsa, vatar sektor ichida yotmaydi va eng qisqa yo'l uchdan o'tadi: $2l$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish