Shar va sfera: matematika darsi

Radiusi ikki marta oshgan shar sirti $4$ marta, hajmi esa $8$ marta katta bo'ladi. Shuning uchun radiuslari $1$ , $6$ , $8$ bo'lgan uch shar eritilganda bitta radiusi $9$ shar chiqadi: $1+216+512=729=9^3$ . Bu darsda shar va sfera formulalari, kesimlar, urinish, ikki sfera, sfera tenglamasi va shar qismlari beriladi.

Ta'riflar

Sfera markazdan bir xil $R$ masofadagi nuqtalar to'plami, ya'ni sirt. Shar sfera bilan chegaralangan jism, ichki nuqtalar ham unga kiradi. Shuning uchun "shar hajmi" va "sfera yuzi" deyiladi. Markazdan o'tgan kesma diametr $D=2R$ .

V=\frac43\pi R^3

S=4\pi R^2

Shar hajmi va sfera yuzi

V=\frac{\pi D^3}{6}

S=\pi D^2

Diametr orqali

V=\frac{S\cdot R}{3}

Hajm va sirtni bog'laydi:

S

dan darhol

R

, keyin

V

Yarim shar: hajmi $\dfrac{2}{3}\pi R^3$ , to'la sirti egri qism va doira yig'indisi $2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2$ .

Radius o'zgarganda

\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2

\frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3

Diametrlar nisbati radiuslar nisbati bilan bir xil

Sfera yuzi $16$ marta katta bo'lsa, radius $4$ marta, hajm $64$ marta katta. Radius $10\%$ ortsa, sirt $1{,}1^2=1{,}21$ , ya'ni $21\%$ ga ortadi, hajm $1{,}1^3=1{,}331$ , ya'ni $33{,}1\%$ ga ortadi. Radius $1$ ga ortganda sirt shunchaga ortadi:

4\pi\left((R+1)^2-R^2\right)

=4\pi(2R+1)

Sharlar eritilganda hajmlar qo'shiladi, radiuslar emas: $R^3=R_1^3+R_2^3+\ldots$ .

Ichi bo'sh (kovak) shar: tashqi radiusi $R$ , qalinligi $t$ bo'lsa, devor hajmi:

V=\frac43\pi\left(R^3-(R-t)^3\right)

$R=5$ , $t=2$ da:

V=\frac43\pi(125-27)=\frac{392\pi}{3}

Teskari masalada qavs ochiladi:

R^3-(R-t)^3

=3R^2t-3Rt^2+t^3

Silindr idishga botirilgan shar suvni ko'taradi: $\pi r^2\Delta h=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ . Radiusi $4$ idishga radiusi $3$ shar botirilsa, $16\Delta h=36$ , $\Delta h=\dfrac{9}{4}$ . Shar radiusi $2$ marta oshsa, ko'tarilish $8$ marta ortadi.

Tekislik bilan kesim

Shar markazidan tekislikkacha masofa $d$ bo'lsin. Markazdan tekislikka tushirilgan perpendikulyar asosi kesim markazi. Kesim chetidagi nuqta bilan to'g'ri burchakli uchburchak hosil bo'ladi:

r^2=R^2-d^2

S_{\text{kesim}}=\pi(R^2-d^2)

r

kesim radiusi,

R

shar radiusi,

d

markazgacha masofa

OK=d

KB=r

OB=R

. Kesim doira,

d=3

R=5

r=4

Holat	Natija
$d<R$	kesim doira, radiusi $\sqrt{R^2-d^2}$
$d=0$	katta doira, radiusi $R$ . Uning aylanasi katta aylana
$d=R$	tekislik sharga urinadi, bitta umumiy nuqta
$d>R$	umumiy nuqta yo'q

Radius uchidan unga $\varphi$ burchak ostida tekislik o'tkazilsa, $d=R\sin\varphi$ va $r=R\cos\varphi$ . $R=10$ , $\varphi=60^\circ$ da $r=5$ , kesim yuzi $25\pi$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish