Prizma, piramida va shar: matematika darsi

Kub ichiga sig'adigan eng katta shar radiusi qirraning yarmi, kubni o'rab turgan shar radiusi esa diagonalning yarmi: qirrasi $6$ bo'lsa, $3$ va $3\sqrt3$ . Bu darsda shar qaysi ko'pyoqqa ichki yoki tashqi chizilishi mumkinligi, markazi qayerda yotishi va radiusi qanday topilishi beriladi.

Ta'riflar

Ko'pyoqning barcha uchlari sferada yotsa, sfera unga tashqi chizilgan. Sfera ko'pyoqning barcha yoqlariga urinsa, u ichki chizilgan. "Ko'pyoq sharga ichki chizilgan" va "shar ko'pyoqqa tashqi chizilgan" bir xil gap.

Jism	Tashqi chizilgan sfera qachon bor	Ichki chizilgan sfera qachon bor
JismTo'g'ri burchakli parallelepiped	Tashqi chizilgan sfera qachon bordoim	Ichki chizilgan sfera qachon borfaqat kub bo'lsa
JismTo'g'ri prizma	Tashqi chizilgan sfera qachon borasosi aylanaga ichki chizilgan bo'lsa	Ichki chizilgan sfera qachon borasosi aylanaga tashqi chizilgan va $H=2\rho$ bo'lsa
JismPiramida	Tashqi chizilgan sfera qachon borasosi aylanaga ichki chizilgan bo'lsa	Ichki chizilgan sfera qachon bormasalan, teng ikki yoqli burchakli, muntazam
JismIstalgan uchburchakli piramida	Tashqi chizilgan sfera qachon bordoim	Ichki chizilgan sfera qachon bordoim

Kub va to'g'ri burchakli parallelepiped

Sfera	Radiusi	$a=6$ uchun
SferaIchki chizilgan, yoqlarga urinadi	Radiusi $r=\dfrac{a}{2}$	$a=6$ uchun $3$
SferaQirralarga urinadi	Radiusi $\dfrac{a\sqrt2}{2}$	$a=6$ uchun $3\sqrt2$
SferaTashqi chizilgan, uchlardan o'tadi	Radiusi $R=\dfrac{a\sqrt3}{2}$	$a=6$ uchun $3\sqrt3$

Kubning diagonal kesimi: to'g'ri to'rtburchak

a\times a\sqrt2

. Katta aylana uchlardan o'tadi (

R

), kichigi ustki va pastki yoqqa urinadi (

r

)

To'g'ri burchakli parallelepipedga tashqi chizilgan sfera markazi diagonallar kesishgan nuqtada, diametri diagonalga teng: $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . Sferaga ichki chizilgan parallelepiped doim to'g'ri burchakli: parallelogramm yoqi aylanaga ichki chizilsa, u to'g'ri to'rtburchak.

Kubga oid teskari masalalar: ichki shar hajmi $V$ berilsa, $r$ topiladi, keyin $a=2r$ ; tashqi shar berilsa, $a\sqrt3=2R$ . Kub yuzi va hajmini shu yerdan olamiz. Uchdan u tegishli bo'lmagan kub diagonaligacha masofa $\dfrac{a\sqrt6}{3}$ .

Prizma va shar

Tashqi chizilgan sfera. To'g'ri prizma asosi tashqi aylanasining radiusi $\rho$ bo'lsa, sfera markazi asoslar markazlarini tutashtiruvchi kesma o'rtasida va $R^2=\rho^2+\left(\dfrac{H}{2}\right)^2$ .

Ichki chizilgan sfera. To'g'ri prizma asosi ichki aylanasining radiusi $\rho$ bo'lsa, sfera radiusi $r=\rho$ va $H=2r$ : sfera ikkala asosga ham, barcha yon yoqlarga ham urinadi.

Sfera ichki chizilgan muntazam prizma	Asos tomoni	$H$	Hajm
Sfera ichki chizilgan muntazam prizmaUchburchakli	Asos tomoni $a=2\sqrt3\,r$	$H$ $2r$	Hajm $6\sqrt3\,r^3$
Sfera ichki chizilgan muntazam prizmaTo'rtburchakli (kub)	Asos tomoni $a=2r$	$H$ $2r$	Hajm $8r^3$
Sfera ichki chizilgan muntazam prizmaOltiburchakli	Asos tomoni $a=\dfrac{2r}{\sqrt3}$	$H$ $2r$	Hajm $4\sqrt3\,r^3$

Sfera tashqi chizilgan prizma: muntazam to'rtburchakli prizmada $d^2+H^2=4R^2$ , $d=a\sqrt2$ asos diagonali. Radiusi $13$ sharga balandligi $10$ bunday prizma ichki chizilsa, $d=24$ , $S_{\text{asos}}=\dfrac{d^2}{2}=288$ , $V=2880$ . Asosi tomonlari $3$ , $4$ , $5$ bo'lgan to'g'ri prizmaga sfera ichki chizilsa, $\rho=1$ , $H=2$ , $V=12$ .

Yarim shar ichidagi jism. Kub yoki prizmaning to'rt uchi yarim shar asosida, qolganlari sirtida yotsa, markaz pastki asos markazida: $R^2=\rho^2+H^2$ , bu yerda $H/2$ emas, to'liq $H$ turadi. Kub uchun $\dfrac{a^2}{2}+a^2=R^2$ . $a=4$ da $R^2=24$ .

Piramidaga tashqi chizilgan sfera

Asos uchlari sferada yotgani uchun asos tashqi aylanasi kesim aylanasi. Sfera markazi shu aylana markazidan o'tgan perpendikulyarda yotadi. Muntazam piramidada u balandlikning to'g'ri chizig'ida.

Radiusi

10

sfera, asos radiusi

\rho=8

: balandlik

16

(markaz piramida ichida) yoki

4

(markaz piramidadan tashqarida)

\rho^2=H(2R-H)

Muntazam piramida.

\rho

asos tashqi aylanasi radiusi,

H

balandlik,

R

sfera radiusi

b^2=2RH

b

yon qirra: to'g'ri burchakli uchburchakda katet kvadrati gipotenuza va proyeksiya ko'paytmasi

R=\frac{b}{2\sin\alpha}

\alpha

yon qirra va asos burchagi:

{H=b\sin\alpha}

dan

Taqqoslash	Markaz qayerda	Masofa
Taqqoslash $H>R$	Markaz qayerdapiramida ichida	Masofamarkazdan asosgacha $H-R$
Taqqoslash $H=R$	Markaz qayerdaasos markazida	Masofa $0$
Taqqoslash $H<R$	Markaz qayerdapiramidadan tashqarida	Masofamarkazdan asosgacha $R-H$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish