Kirish

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish

x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 tenglamani va x2−9x2−5x+6\dfrac{x^2-9}{x^2-5x+6} kasrni bitta amal yechadi: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Ko'paytuvchilarga ajratish kasrlarni qisqartirishda, tenglamalarda va hisoblashda eng ko'p ishlatiladigan amal. Bu darsda barcha usullarni va ularni qaysi tartibda qo'llashni o'rganamiz.

Ta'rif va tekshiruv

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish uni bir nechta ko'phadning ko'paytmasi shaklida yozish demak. Natijani har doim tekshirish mumkin: qavslarni ochsak, boshlang'ich ifoda chiqadi.

1-usul. Umumiy ko'paytuvchini chiqarish

Koeffitsiyentlarning EKUBini va barcha hadlarda bor harflarning eng kichik darajasini chiqaramiz. Har bir hadni shu ko'paytuvchiga bo'lib, qavs ichiga yozamiz.

12a2b−8ab2=4ab(3a−2b)12a^2b-8ab^2=4ab(3a-2b)
1212 va 88 ning EKUBi 44, harflardan aa va bb

Umumiy ko'paytuvchi qavs ham bo'lishi mumkin. Ishorasi teskari qavslarni avval tenglashtiramiz: b−a=−(a−b)b-a=-(a-b).

x(y−2)+3(2−y)x(y-2)+3(2-y)
=x(y−2)−3(y−2)=x(y-2)-3(y-2)
=(y−2)(x−3)=(y-2)(x-3)

2-usul. Qisqa ko'paytirish formulalari

IfodaKo'paytma
a2−b2a^2-b^2(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2(a+b)2(a+b)^2
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2(a−b)2(a-b)^2
a3+b3a^3+b^3(a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2-ab+b^2)
a3−b3a^3-b^3(a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b^2)
a3+3a2b+3ab2+b3a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
=(a+b)3=(a+b)^3
a3−3a2b+3ab2−b3a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
=(a−b)3=(a-b)^3

Formulalar butun ifodalarga ham qo'llanadi. Masalan:

(x2+16)2−64x2(x^2+16)^2-64x^2
=(x2+16−8x)(x2+16+8x)=(x^2+16-8x)(x^2+16+8x)
=(x−4)2(x+4)2=(x-4)^2(x+4)^2

3-usul. Guruhlash

Umumiy ko'paytuvchi hamma hadda bo'lmasa, hadlarni guruhlaymiz. Har bir guruhdan umumiy ko'paytuvchini chiqargach, qavslar bir xil bo'lishi kerak.

ax+ay+bx+byax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)=a(x+y)+b(x+y)
=(x+y)(a+b)=(x+y)(a+b)
x3−3x2−4x+12x^3-3x^2-4x+12
=x2(x−3)−4(x−3)=x^2(x-3)-4(x-3)
=(x−3)(x−2)(x+2)=(x-3)(x-2)(x+2)
Oxirgi qavs yana ajraladi

Guruhlar ikkita-ikkita bo'lishi shart emas. Uch had to'liq kvadrat bersa, uni bitta guruhga olamiz:

x2+2xy+y2−z2x^2+2xy+y^2-z^2
=(x+y)2−z2=(x+y)^2-z^2
=(x+y−z)(x+y+z)=(x+y-z)(x+y+z)
Uch had va bir had

Olti hadli ifodada hadlarni ikkitadan yoki uchtadan olamiz. Maqsad doim bir xil qavs chiqarish.

a5+2a4−2a3−4a2+a+2a^5+2a^4-2a^3-4a^2+a+2
=a4(a+2)−2a2(a+2)=a^4(a+2)-2a^2(a+2)
+(a+2)+(a+2)
=(a+2)(a4−2a2+1)=(a+2)(a^4-2a^2+1)
=(a+2)(a−1)2(a+1)2=(a+2)(a-1)^2(a+1)^2
Uchta guruh, keyin to'liq kvadrat

4-usul. Uch hadlini ajratish

x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2+bx+c=(x+p)(x+q) bo'ladi, agar p+q=bp+q=b va pq=cpq=c bo'lsa. Ko'paytmasi cc ga teng juftlarni sinab, yig'indisi bb ga tengini tanlaymiz.

x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
(−2)+(−3)=−5{(-2)+(-3)=-5}, (−2)⋅(−3)=6{(-2)\cdot(-3)=6}
x2+3x−10=(x−2)(x+5)x^2+3x-10=(x-2)(x+5)
−2+5=3-2+5=3, −2⋅5=−10-2\cdot 5=-10

Bosh koeffitsiyent 11 bo'lmasa, o'rta hadni ikkiga bo'lamiz, keyin guruhlaymiz. Yig'indisi bb, ko'paytmasi acac bo'lgan sonlarni qidiramiz.

2x2+5x−32x^2+5x-3
=2x2+6x−x−3=2x^2+6x-x-3
=2x(x+3)−(x+3)=2x(x+3)-(x+3)
=(x+3)(2x−1)=(x+3)(2x-1)
6+(−1)=56+(-1)=5, 6⋅(−1)=2⋅(−3)6\cdot(-1)=2\cdot(-3)

Ikki harfli uch had ham shunday:

b2+2ab−3a2b^2+2ab-3a^2
=(b−a)(b+3a)=(b-a)(b+3a)
Chunki −a+3a=2a-a+3a=2a va −a⋅3a=−3a2{-a\cdot 3a=-3a^2}
Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish
Endi doskada ko'ringUstoz ovozi bilan qadam-baqadam yechim, 10 ta yechimli misol va 10 ta topshiriq.Darsni boshlash